Степень отображения

Рассмотрим гладкое отображение n-мерных ориентированных гладких многообразий $\varphi: M_1^n\to M_2^n$. Точка из $M_2^n$ называется регулярной, если у нее конечное число прообразов и в каждом из ее прообразов отображение $\varphi$ не вырождено (т. е. невырожден дифференциал отображения в каждом из прообразов). Припишем каждому прообразу регулярной точки число +1, если отображение $\varphi$ в этой точке сохраняет ориентацию и −1 в противном случае. Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется степенью отображения. Степень отображения не зависит от выбора регулярной точки (т. е. это определение корректно).

В случае отображения из окружности в окружность степень отображения можно определить как число оборотов точки $\varphi(x)$ когда $x$ пробегает окружность.

Степень отображения не изменяется при гомотопии (непрерывном изменении) отображения $\varphi$ и, таким образом, является важным инвариантом гомотопического класса отображения.