Степень отображения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Рассмотрим гладкое отображение n-мерных ориентированных гладких многообразий \varphi: M_1^n\to M_2^n. Точка из M_2^n называется регулярной, если у нее конечное число прообразов и в каждом из ее прообразов отображение \varphi не вырождено (т. е. невырожден дифференциал отображения в каждом из прообразов). Припишем каждому прообразу регулярной точки число +1, если отображение \varphi в этой точке сохраняет ориентацию и −1 в противном случае. Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется степенью отображения. Степень отображения не зависит от выбора регулярной точки (т. е. это определение корректно).

В случае отображения из окружности в окружность степень отображения можно определить как число оборотов точки \varphi(x) когда x пробегает окружность.

Степень отображения не изменяется при гомотопии (непрерывном изменении) отображения \varphi и, таким образом, является важным инвариантом гомотопического класса отображения.