Стохастическое дифференциальное уравнение

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический (случайный) процесс. Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс.

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения, сделанными независимо Марианом Смолуховским (1904 г.) и Альбертом Эйнштейном (1905 г.). Однако СДУ были использованы чуть ранее (1900 г.) французским математиком Луи Башелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, но не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена, хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум. Вторая распространенная форма — уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записана с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Броуновское движение (на языке математики — винеровский процесс) оказалось очень сложным математическим объектом. В частности, винеровский процесс недифференцируем, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало создания собственного исчисления (теория стохастических интегралов). В настоящее время используются две версии стохастического исчисления — стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. Обычно СДУ в форме Ито без труда можно переписать в СДУ в форме Стратоновича и обратно, однако всегда нужно явно уточнять, в какой форме записано СДУ.

Существование и единственность решения

Так же как и для обычных дифференциальных уравнений, важно знать имеет ли СДУ решение и, если имеет, единственно ли это решение. Приведем формулировку теоремы существования и единственности для уравнения Ито. Доказательство можно найти в Øksendal (2003, § 5.2).

Пусть решение принимает значения в $n$-мерном эвклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, где определён $m$-мерный случайный процесс $B$, описывающий броуновское движение;

Пусть $T>0$, и пусть

$\mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};$

$\sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};$

— измеримые функции, для которых существуют константы $C$ и $D$ такие, что

${\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t){\big |}{\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};$

${\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}{\big |}\leq D|x-y|;$

для всех $t\in [0,T]$ и всех $x$ и $y\in \mathbb {R} ^{n}$, где

$|\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.$

Пусть $Z$ — случайная переменная, независимая от $\sigma$-алгебры, генерируемой процессом $B_{s}$, $s\geq 0$, и имеющая конечный второй момент:

$\mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .$

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}$ для $t\in [0,T];$

$X_{t}=Z;$

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и $t$-непрерывное решение $(t,\omega )\shortmid \!\to X_{t}(\omega )$, такое что $X$ — адаптированный процесс к фильтрации $F_{t}^{Z}$, генерируемое $Z$ и $B_{s}$, $s\leq t$, и

$\mathbb {E} \left[\int \limits _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .$

Применение стохастических уравнений

Физика

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

${\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^{n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),$

где $\mathbf {x} =\{x_{i}|1\leq i\leq k\}$ — набор неизвестных, $f_{i}$ и $g_{i}$ — произвольные функции, а $\eta _{m}$ — случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если $g_{i}$ — константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда $g(x)\propto x$. Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум — проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа. В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразование первоначального уравнения в уравнение Фоккера — Планка. Уравнение Фоккера — Планка — дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло. Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

• Adomian, George. Stochastic systems (англ.). — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. — (Mathematics in Science and Engineering (169)).
• Adomian, George. Nonlinear stochastic operator equations (англ.). — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
• Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. — (Mathematics and its Applications (46)).
• Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (англ.). — Berlin: Springer, 2003.
• Teugels, J. and Sund B. (eds.). Encyclopedia of Actuarial Science (англ.). — Chichester: Wiley, 2004. — P. 523—527.
• C. W. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences (англ.). — Springer, 2004. — P. 415.
• Thomas Mikosch. Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View (англ.). — Singapore: World Scientific Publishing, 1998. — P. 212.
• Bachelier, L.,. Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis (англ.). — NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900.
• Лип­цер Р. Ш., Ши­ря­ев А. Н. Ста­ти­сти­ка слу­чай­ных про­цес­сов. М., 1974.
• Гих­ман И. И., Ско­ро­ход А. В. Сто­хас­ти­че­ские диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния и их при­ло­же­ния. К., 1982.