Стохастический интеграл

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стохастический интеграл - интеграл вида \int f(t) dy(t), где {y(t), t \in T} - случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стильтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функции[править | править вики-текст]

Стохастический интеграл можно определить при помощи сумм S_N = \sum_{i=0}^N f(\tau_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)]. Интеграл получается, как и у интеграла Стильтьеса, переходом к пределу: I = \int f(t) dy(t) = \lim S_N .

Стохастический интеграл от стохастического процесса[править | править вики-текст]

Рассмотрим интеграл \int_0^T \omega(t) d\omega(t), где {\omega(t), t \in T} - винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал [0; T] точками 0=t_1, t_2, ..., t_N, t_{N+1}=T на N подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: I_0=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_i)[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)], или I_1=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_{i+1})[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]. Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса: E[I_1-I_0]=\lim \sum^{N}_{i=1}E\left([\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]^2\right)=T. Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру \lambda сумму интегралов I_0 и I_1 следующей формулой: I_\lambda=(1 - \lambda)I_0+\lambda I_1=\lim \sum^N_{i=1}[(1-\lambda)\omega(t_i)+\lambda\omega(t_{i+1})][\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)], при 0 \leqslant \lambda \leqslant 1. Интеграл I_0 соответствует интегралу Ито, а I_{0,5} совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича[править | править вики-текст]

Интеграл Стратоновича имеет вид: I=\lim_{N\to \infty} \sum^{N}_{i=1}f\left(\frac{t_{i+1}+t_i}{2}\right)[y(t_{i+1})-y(t_i)].

Интеграл Ито[править | править вики-текст]

Интеграл Ито имеет вид: \int f(t) dy(t)=\lim \sum^{N}_{i=1}f(t_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)]. Его основные свойства: E \int f(t) dy(t) = \int { E f(t) } dm(t), cov [ \int f(t) dy(t), \int g(t) dy(t) ] = \int [ E f(t) g(t) ] dr(t).

Интеграл Винера[править | править вики-текст]

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число \alpha. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции x(t, \alpha). Интеграл вида \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется аналогично интегрированию по частям: \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt = f(1)x(1, \alpha) - \int\limits_0^1 f'(t)dx(t,\alpha)dt. Его основные свойства: \int\limits_0^1 d\alpha \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt = 0, \int\limits_0^1 d\alpha \left [ \int\limits_0^1 f(t)dx(t,\alpha)dt \right ]^{2} = \int\limits_0^1 f^{2}(t)dt.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • К.Ю. Острём Введение в стохастическую теорию управления. // пер. с англ. С.А. Анисисмова, Н.Е. Арутюновой, А.Л. Бунича, под ред. Н.С. Райбмана, "Мир", М., 1973, гл. 3. Стохастические модели состояния, п. 5. Стохастические интегралы.
  • Н. Винер Нелинейные задачи в теории случайных процессов, М., ИЛ, 1961.