Стохастическое дифференциальное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название — случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс (более подробно см. [1]).

История[править | править исходный текст]

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения, сделанными независимо Марианом Смолуховским (1904 г.) и Альбертом Эйнштейном (1905 г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее (1900 г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология[править | править исходный текст]

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена, хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум. Вторая распространенная форма — уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление[править | править исходный текст]

Броуновское движение (на языке математики винеровский процесс) оказалось очень сложным математическим объектом. В частности, винеровский процесс недифференцируем, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало создания собственного исчисления (теория стохастических интегралов). В настоящее время используется две версии стохастического исчисления — стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. Обычно, без труда можно переписать СДУ в форме Ито в СДУ в форме Стратоновича и обратно, однако всегда нужно явно уточнять, в какой форме записано СДУ.

Существование и единственность решения[править | править исходный текст]

Так же как и для обычных дифференциальных уравнений, важно знать имеет ли СДУ решение и, если имеет, единственно ли это решение. Приведем формулировку теоремы существования и единственности для уравнения Ито. Доказательство можно найти в Øksendal (2003, § 5.2).

Пусть решение принимает значения в n-мерном эвклидовом пространстве \mathbb{R}^n, где определен m-мерный случайный процесс B, описывающий броуновское движение;

Пусть T>0, и пусть

\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n};
\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m};

измеримые функции, для которых существуют константы C и D такие, что

\big| \mu (x, t) \big| + \big| \sigma (x, t) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big);
\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big| \leq D | x - y |;

для всех t\in [0, T] и всех x и y\in\mathbb{R}^n, где

| \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}.

Пусть Z — случайная переменная, независимая от \sigma-алгебры, генерируемой процессом B_s, s\ge 0, и имеющая конечный второй момент:

\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty.

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

\mathrm{d} X_{t} = \mu (X_{t}, t) \, \mathrm{d} t + \sigma (X_{t}, t) \, \mathrm{d} B_{t} для t \in [0, T];
X_{t} = Z;

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и t-непрерывное решение (t, \omega)\shortmid\!\to X_t (\omega), такое что X — адаптированный процесс к фильтрации F_t^Z, генерируемое Z и B_s, s\le t, и

\mathbb{E} \left[ \int\limits_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] < + \infty.

Применение стохастических уравнений[править | править исходный текст]

Физика[править | править исходный текст]

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

\dot{x}_i = \frac{dx_i}{dt} = f_i(\mathbf{x}) + \sum_{m=1}^ng_i^m(\mathbf{x})\eta_m(t),\,

где \mathbf{x}=\{x_i|1\le i\le k\} — набор неизвестных, f_i и g_i — произвольные функции, а \eta_m — случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если g_i — константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда  g(x) \propto x. Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум — проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа. В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка. Уравнение Фоккера-Планка — дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло. Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Теория вероятностей и финансовая математика[править | править исходный текст]

Биология[править | править исходный текст]

Химия[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Adomian George Stochastic systems. — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983.
  • Adomian George Nonlinear stochastic operator equations. — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
  • Adomian George Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
  • Øksendal Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — Berlin: Springer, 2003. — ISBN ISBN 3-540-04758-1
  • Teugels, J. and Sund B. (eds.) Encyclopedia of Actuarial Science. — Chichester: Wiley, 2004. — P. 523–527.
  • C. W. Gardiner Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. — Springer, 2004. — P. 415.
  • Thomas Mikosch Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. — Singapore: World Scientific Publishing, 1998. — P. 212. — ISBN ISBN 981-02-3543-7
  • Bachelier, L., Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis. — NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900. — ISBN In English in 1971 book 'The Random Character of the Stock Market' Eds. P.H. Cootner

См. также[править | править исходный текст]