Стохастическое исчисление Ито

Исчисление Ито — математическая теория, описывающая методы манипулирования со случайными процессами, такими как броуновское движение (или винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито

$Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,$

где $X$ — броуновское движение или, в более общей формулировке, полумартингал. Можно показать, что путь интегрирования для броуновского движения нельзя описать стандартными техниками интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является интегрируемой функцией в каждой точке пути и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить строго, если заметить, что подынтегральная функция $H$ есть адаптивный процесс; это означает, что зависимость от времени $t$ его среднего значения определяется поведением только до момента $t$.

Обозначения

$\int\limits_0^t H\,dX\equiv\int\limits_0^t H_s\,dX_s$

Интегрирование броуновского движения

$\int\limits_{0}^{t} H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}),$

Процесс Ито

$X_t=X_0+\int\limits_0^t\sigma_s\,dB_s+\int\limits_0^t\mu_s\,ds.$

Семимартингалы, как интеграторы

$\int\limits_0^t H\,dX = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).$

Свойства

$J\cdot (K\cdot X) = (JK)\cdot X$

$[H\cdot X]=H^2\cdot[X]$

Интегрирование по частям

$X_tY_t = X_0Y_0+\int\limits_0^t X_{s-}\,dY_s + \int\limits_0^t Y_{s-}\,dX_s + [X,Y]_t$

Лемма Ито

$df(X_t)= \sum_{i=1}^d f_{,i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{,ij}(X_{t})\,d[X^i,X^j]_t.$

Мартингалы-интеграторы

Квадратично интегрируемые мартингалы

$\mathbb{E}\left((H\cdot M_t)^2\right)=\mathbb{E}\left(\int\limits_0^t H^2\,d[M]\right).$

Стохастическая производная

$\mathbb{D}_{B_{t}} S_{t}= \frac{\mathrm{d} \langle S, B \rangle_{t}}{\mathrm{d} \langle B, B \rangle_{t}} =\frac{\mathrm{d} \langle S, B \rangle_{t}}{\mathrm{d} t},$

$\mathbb{D}_{B_{t}} \int\limits_{0}^{t} X_{s} \mathrm{d} B_{s} = X_{t},$   and   $\int\limits_{0}^{t} \mathbb{D}_{B_{s}} S_{s} \mathrm{d} B_{s}= S_{t} - S_{0} - V_{t}.$

См. также

• Винеровский процесс
• Интеграл Стратоновича

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

• Allouba, Hassan (2006). «A Differentiation Theory for Itô's Calculus». Stochastic Analysis and Applications 24: 367-380. DOI 10.1080/07362990500522411.
• Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981-238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
• He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
• Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
• Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
• Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
• Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.