Стохастическое исчисление Ито

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Исчисление Ито — математическая теория, описывающая методы манипулирования со случайными процессами, такими как броуновское движение (или винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито

Y_t=\int\limits_0^t H_s\,dX_s,

записывающийся также в виде Y = H\cdot X, где X — броуновское движение или, в более общей формулировке, полумартингал. Можно показать, что путь интегрирования для броуновского движения нельзя описать стандартными техниками интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является интегрируемой функцией в каждой точке пути и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить строго, если заметить, что подынтегральная функция H есть адаптивный процесс; это означает, что зависимость от времени t его среднего значения определяется поведением только до момента t.

Обозначения[править | править вики-текст]

\int\limits_0^t H\,dX\equiv\int\limits_0^t H_s\,dX_s

Интегрирование броуновского движения[править | править вики-текст]

\int\limits_{0}^{t} H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}),

Процесс Ито[править | править вики-текст]

X_t=X_0+\int\limits_0^t\sigma_s\,dB_s+\int\limits_0^t\mu_s\,ds.

Семимартингалы, как интеграторы[править | править вики-текст]

\int\limits_0^t H\,dX = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}),

где 0=t_0<t_1<...<t_{n-1}<t_n=t, \max(t_i-t_{i-1})\to 0 - последовательность разбиений интервала [0, t] с длинной подынтервалов стремящейся к нулю.

Свойства[править | править вики-текст]

 J\cdot (K\cdot X) = (JK)\cdot X
[H\cdot X]=H^2\cdot[X]


Интегрирование по частям[править | править вики-текст]

X_tY_t = X_0Y_0+\int\limits_0^t X_{s-}\,dY_s + \int\limits_0^t Y_{s-}\,dX_s + [X,Y]_t

Лемма Ито[править | править вики-текст]

df(X_t)= \sum_{i=1}^d f_{,i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{,ij}(X_{t})\,d[X^i,X^j]_t.

Мартингалы-интеграторы[править | править вики-текст]

Локальные мартингалы[править | править вики-текст]

Квадратично интегрируемые мартингалы[править | править вики-текст]

\mathbb{E}\left((H\cdot M_t)^2\right)=\mathbb{E}\left(\int\limits_0^t H^2\,d[M]\right).

p-интегральные мартингалы[править | править вики-текст]

Стохастическая производная[править | править вики-текст]

\mathbb{D}_{B_{t}} S_{t}= \frac{\mathrm{d} \langle S, B \rangle_{t}}{\mathrm{d} \langle B, B \rangle_{t}}  =\frac{\mathrm{d} \langle S, B \rangle_{t}}{\mathrm{d} t},
\mathbb{D}_{B_{t}} \int\limits_{0}^{t} X_{s} \mathrm{d} B_{s} = X_{t},   and   \int\limits_{0}^{t} \mathbb{D}_{B_{s}} S_{s} \mathrm{d} B_{s}= S_{t} - S_{0} - V_{t}.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Allouba, Hassan (2006). «A Differentiation Theory for Itô's Calculus». Stochastic Analysis and Applications 24: 367-380. DOI 10.1080/07362990500522411.
  • Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981-238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
  • He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
  • Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
  • Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
  • Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
  • Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.