Строфоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится так (см. Рис. 1): В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, проводится произвольная прямая AL. Прямая AL пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны, вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду. В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1.

Рис. 1

В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.

Рис. 2

Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол \alpha = \angle AOD (для прямоугольной системы координат \alpha = \frac {\pi }{2}), записывается так:

y^2 \left( x - a \right) - 2x^2y \cos \alpha + x^2 \left( a + x \right) = 0 \,\! .

Уравнение прямой строфоиды:

y = \pm x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \,\! .

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

\rho = - \frac{a \cos2 \phi}{ \cos \phi} \,\! .

Параметрическое уравнение строфоиды:

x = a \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \,\!
y = au \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \,\!, где
u = \tan \phi \,\!.

Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.

В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

Содержание

[править] История

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.

[править] Нахождение касательной

Тангенс угла наклона касательной равен значению первой производной функции. Перепишем уравнение строфоиды (прямой) в следующем виде:

y = xz \,\!, где z = \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \,\!.
y' = z + xz' \,\!
z = \sqrt {\frac {a + x}{a - x}}
\ln {z} = \frac {1}{2} \ln {a + x} - \frac {1}{2} \ln {a - x}

Дифференцируем данное уравнение:

\frac{z'}{z} = \frac{1}{2} \frac{1}{a +x} + \frac {1}{2} \frac{1}{a - x} = \frac{a}{a^2 - x^2} \,\!
\frac{z'}{z} = \frac{1}{2} \frac{1}{a + x} + \frac{1}{2} \frac{1}{a - x} = \frac {a}{a^2 - x^2} \,\!
z' = \frac{a}{a^2 - x^2} \sqrt { \frac{a + x}{a - x}} \,\!
y' = \sqrt { \frac {a + x}{a - x}} \left( 1 + \frac {ax}{a^2 - x^2} \right) \,\!

В точке O(0,0) производная y' = \pm 1, то есть в точке O(0,0) существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен \pm \frac{\pi}{4}.

Радиус кривизны строфоиды R = ON в точке O(0,0) определяется так:

R = \frac{a}{\cos \angle AON} = \frac{a}{\cos \frac{ \pi}{4}} = a \sqrt{2} \,\!.

[править] Площадь петли строфоиды

Площадь петли строфоиды слева от оси ординат S1. Уравнение верхней дуги AM1O:

y = - x \sqrt { \frac {a+x} {a-x}} \qquad \,\!   (1)

Половина площади левой петли строфоиды равна интегралу от уравнения (1) в пределах от − a до 0.

\frac {1}{2} S_1 = - \int\limits_{-a}^ {0} x \sqrt { \frac {a+x} {a-x}}\,dx \qquad \,\!   (2)

Подстановка:

u = a - x,\qquad a + x = 2a - u, \qquad dx = -du.

Пределы интегрирования:

x = -a \Rightarrow\; u = 2a, \qquad x = 0 \Rightarrow\; u = a

Интеграл (2) преобразуется к виду:

\frac {1}{2} S_1 = \int\limits_{2a}^ {a} \left( a - u \right) \sqrt{ \frac {2a - u}{u}}\,du= \,\!
= - \int\limits_{2a}^ {a} u \sqrt{ \frac{2a - u}{u}}\,du + a \int\limits_{2a}^ {a} \sqrt { \frac{2a - u}{u}}\,du \qquad \,\!    (3)

Первый интеграл из уравнения (3):

- \int\limits_{2a}^ {a} u \sqrt{ \frac{2a - u}{u}}\,du = - \int\limits_{2a}^{a} \sqrt{2au - u^2}\,du \qquad \,\!   (4)

Подстановка:

v = u - a, \qquad u = v + a, \qquad dv = du.

Пределы интегрирования:

u = 2a \Rightarrow\; v = a, \qquad u = a \Rightarrow\; v = 0.

Интеграл (4) преобразуется к виду:

- \int\limits_{a}^ {0} \sqrt{2a \left(v + a \right) - \left(v + a \right)^2}\,dv = - \int\limits_{a}^ {0} \sqrt { a^2 - v^2}\,dv = \,\!
= - \left[ \frac{v}{2} \sqrt{a^2 - v^2}+ \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{v}{a} \right] \begin{cases} 0 \\ a \end{cases} = \,\!
= \frac{a^2}{2} \arcsin 1 = \frac{a^2 \pi}{4} \,\!.

Второй интеграл из уравнения (3):

a \int\limits_{2a}^ {a} \sqrt { \frac{2a - u}{u}}\,du \qquad \,\!   (5)

Подстановка:

u = v^2, \qquad du = 2vdv.

Пределы интегрирования:

u = 2a \Rightarrow\; v = \sqrt {2a}, \qquad u = a \Rightarrow\; v = \sqrt {a}.

Интеграл (5) преобразуется к виду:

2a \int\limits_{ \sqrt{2a}}^{ \sqrt {a}} \sqrt{2a - v^2 }\,dv = \,\!
= 2a \left[ \frac{v}{2} \sqrt{2a - v^2} + a \arcsin \frac{v}{ \sqrt{2a}} \right] \begin{cases} \sqrt{a} \\ \sqrt{2a} \end{cases} = \,\!
= -\frac {a^2 \pi}{2} + a^2 \,\! .

Итак:

\frac {1}{2}S_1 = \frac {a^2 \pi}{4} - \frac {a^2 \pi}{2} + a^2 \,\!

Площадь S1 равна:

S_1 = 2a^2 - \frac {a^2 \pi}{2}.

Если координата x стремится к a, то правые ветви строфоиды стремятся к \pm \infty , но площадь между линией U'OV'и асимптотой UV конечна и определяется интегралом (2) в пределах от 0 до a. В этом случае площадь получится отрицательной, так как уравнение (1) описывает ветвь OU', а площадь, заключенная между этой ветвью и лучом OX и лучом BU — отрицательна. Если вычислить интеграл (2) в пределах от 0 до a, получим следующее выражение для площади S2:

S_2 = 2a^2 + \frac {a^2 \pi}{2}.

[править] Объём тела вращения

Объём (V1) тела, образованного при вращении дуги OM1A вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

V_1 = \pi \int\limits_{-a}^{0} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad \,\!   (6)
= \pi \int\limits_{-a}^{0} x^2 \frac{a + x}{a - x} \,dx = \,\!
= - \pi \int\limits_{-a}^{0} x^2 \,dx - 2 \pi a \int\limits_{-a}^{0} x \,dx - 2 \pi a^2 \int\limits_{-a}^{0} dx + 2 \pi a^3 \int\limits_{-a}^{0} \frac{dx}{a - x} = \,\!
= - \frac{a^3 \pi}{3} + a^3 \pi - 2a^3 \pi + 2a^3 \pi \ln {2} \,\!

Итак:

V_1 = a^3 \pi \left( 2 \ln{2} - \frac{4}{3} \right) \,\!.

Объём (V2) тела, образованного при вращении ветви OV' вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от 0 до b, где 0 = < b < a :

V_2 = \pi \int\limits_{0}^{b} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad \,\!
= - \pi \int\limits_{0}^{b} x^2 \,dx - 2 \pi a \int\limits_{0}^{b} x \,dx - 2 \pi a^2 \int\limits_{0}^{b} dx + 2 \pi a^3 \int\limits_{0}^{b} \frac{dx}{a - x} = \,\!
= - \frac {\pi b^3}{3} - a \pi b^2 - 2a^2 \pi b + 2a^3 \pi \left( \ln {a} - \ln {\left(a - b \right)} \right) \,\!.

Если b \Rightarrow\; a, то \ln {\left(a - b \right)} \Rightarrow\; - \infty, то есть V_2 \Rightarrow\; \infty.


Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%84%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0»