Строфоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится следующим образом (см. Рис. 1):

Рис. 1
Рис. 2

В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.

В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1. В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.

Уравнения[править | править вики-текст]

Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, угол \alpha = \angle AOD (для прямоугольной системы координат  \alpha = \frac {\pi }{2}), записывается так:

y^2 \left( x - a \right) - 2x^2y \cos \alpha + x^2 \left( a + x \right) = 0 \,\! .

Уравнение прямой строфоиды:

y = \pm x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \,\! .

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

 \rho = - \frac{a \cos2 \phi}{ \cos \phi} \,\! .

Параметрическое уравнение строфоиды:

 x = a \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \,\!
 y = au \left( \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1} \right) \,\!, где
 u = \mathrm{tg}\, \phi \,\!.

Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.

В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

История[править | править вики-текст]

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. πτερον— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

Дальнейшее относится только к прямой строфоиде.

Нахождение касательной[править | править вики-текст]

 y' = \sqrt { \frac {a + x}{a - x}} \left(  1 + \frac {ax}{a^2 - x^2} \right) \,\!

В точке O(0,0) производная y' = \pm 1, то есть в точке O(0,0) существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен  \pm \frac{\pi}{4}.

Радиус кривизны[править | править вики-текст]

R = ON в точке O(0,0) определяется так:

 R = \frac{a}{\cos \angle AON} = \frac{a}{\cos \frac{ \pi}{4}} = a \sqrt{2} \,\!.

Площадь петли строфоиды и площадь между строфоидой и асимптотой[править | править вики-текст]

Площадь петли строфоиды слева от оси ординат

 S_1 =  a^2 (2 - \frac {\pi}{2}).

Площадь между строфоидой и асимптотой справа от оси ординат

 S_1 =  a^2 (2 + \frac {\pi}{2}).

Объём тела вращения[править | править вики-текст]

Объём (V_1) тела, образованного при вращении дуги OM_1A вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

 V_1 = \pi \int\limits_{-a}^{0} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad  \,\!   (6)
 = \pi \int\limits_{-a}^{0} x^2 \frac{a + x}{a - x} \,dx = \,\!
 = - \pi \int\limits_{-a}^{0} x^2 \,dx - 2 \pi a \int\limits_{-a}^{0} x \,dx - 2 \pi a^2 \int\limits_{-a}^{0} dx + 2 \pi a^3 \int\limits_{-a}^{0} \frac{dx}{a - x} = \,\!
 = - \frac{a^3 \pi}{3} + a^3 \pi - 2a^3 \pi + 2a^3 \pi \ln {2} \,\!

Итак:

 V_1 = a^3 \pi \left( 2 \ln{2} - \frac{4}{3} \right) \,\!.

Объём (V_2) тела, образованного при вращении ветви OV' вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из интеграла (6) в пределах от 0 до b, где  0 =< b < a :

 V_2 = \pi \int\limits_{0}^{b} \left( x \sqrt{ \frac{a + x}{a - x}} \right)^2 \,dx = \qquad  \,\!
 = - \pi \int\limits_{0}^{b} x^2 \,dx - 2 \pi a \int\limits_{0}^{b} x \,dx - 2 \pi a^2 \int\limits_{0}^{b} dx + 2 \pi a^3 \int\limits_{0}^{b} \frac{dx}{a - x} = \,\!
 = - \frac {\pi b^3}{3} - a \pi b^2 - 2a^2 \pi b + 2a^3 \pi \left( \ln {a} - \ln {\left(a - b \right)} \right) \,\!.

Если  b  \Rightarrow\; a, то  \ln {\left(a - b \right)}  \Rightarrow\; - \infty, то есть  V_2  \Rightarrow\; \infty.