Структура Ходжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Структура Ходжа веса n, или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки H_\Z в действительном векторном пространстве H_\R=H_\Z\otimes\R и разложения H_\C=\bigoplus_n H^{p,\;q}, где n=p+q, комплексного векторного пространства H_\C=H_\Z\otimes\C, которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие \bar H^{p,\;q}=H^{q,\;p}, где \bar H^{p,\;q} — комплексное сопряжённое в H_\C=H_\R\bigotimes_\R\C.

Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, F^r=\bigoplus_{p\geqslant r}H^{p,\;q} в H_\C такой, что \bar F^s\cap F^r=0 при r+s\neq n. Тогда подпространства H^{p,\;q} восстанавливаются по формуле H^{p,\;q}=\bar F^p\cap F^q.

Данную структуру в пространстве n-мерных когомологий H^n(X,\;\C) компактного кэлерова многообразия X впервые изучил У. Ходж[1].

В этом случае подпространства H^{p,\;q} описываются как пространства гармонических форм типа (p,\;q) или как когомологии H^q(X,\;\Omega^p) пучков \Omega^p голоморфных дифференциальных форм[2].

Фильтрация Ходжа в H^n(X,\;\C) возникает из фильтрации комплекса пучков \Omega=\sum_{p\geqslant 0}\Omega^p, n-мерные гиперкогомологии которого изоморфны H^n(X,\;\C), подкомплексами вида \sum_{r\geqslant p}\Omega^r.

Смешанная структура Ходжа[править | править исходный текст]

Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки H_\Z в H_\R=H_\Z\otimes\R, возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, W_n в H_\Q=H_\Z\otimes\Q и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) F^p в H_\C=H_\Z\otimes\C таких, что на пространстве (W_n/W_{n+1})\otimes\C фильтрации F^p и \bar F^p определяют чистую структуру Ходжа веса n.

П. Делинь (англ.) (P. Deligne) в своей работе[3] рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.

Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображений[4].

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Hodge W. V. D. Tho theorie and applications of harmonic integrals. — 2 ed. — Cambridge, 1952.
  2. Гриффитс, Ф., Харрис, Дж. Принципы алгебраической геометрии / Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — Т. 1. — 518 с.
  3. Deligne P. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, 1974). — 1975. — v. 1. — p. 70—85.
  4. Варченко А. Н. Современные проблемы математики. — т. 22. — М., 1983. — с. 66—130. — (Итоги науки и техники).