Структура (дифференциальная геометрия)

В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия $M$. Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки $x$ многообразия $M$, но и от выбора корепера, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке $x$ (см. также Карта).

Формальное определение структуры на многообразии

Для формального определения структур на многообразии рассмотрим $GL^{k}(n)$ — общую дифференциальную группу порядка $k$ (группу $k$-струй в нуле преобразований пространства $\mathbb {R} ^{n}$, сохраняющих начало координат), $M_{k}$ — многообразие кореперов порядка $k$ $n$-мерного многообразия $M$ (то есть многообразие $k$-струй $j_{x}^{k}(u)$ локальных карт $u:M\supset U\to \mathbb {R} ^{n}$ с началом в точке $x=u^{-1}(0)$).

Группа $GL^{k}(n)$ действует слева на многообразии $M_{k}$ по формуле

$j_{0}^{k}(\varphi )j_{0}^{k}(u)=j_{x}^{k}(\varphi \circ u),\quad j_{0}^{k}(\varphi )\in GL^{k}(n),\quad j_{x}^{k}(u)\in M_{k}.$

Это действие определяет в $M_{k}$ структуру главного $GL^{k}(n)$-расслоения $\pi _{k}:M_{k}\to M$, называемого расслоением кореперов порядка $k$.

Пусть теперь $W$ — произвольное $GL^{k}(n)$-многообразие, то есть многообразие с левым действием группы $GL^{k}(n)$, a $W(M)$ — пространство орбит левого действия группы $GL^{k}(n)$ в $M_{k}\times W$. Расслоение $\pi _{W}:W(M)\to M$, являющееся естественной проекцией пространства орбит на $M$ и ассоциированное как с $W$, так и с $M_{k}$, называется расслоением геометрических структур типа $W$ порядка не больше $k$, а его сечения — структурами типа $W$. Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с $GL^{k}(n)$-зквивариантными отображениями $S:M_{k}\to W$.

Таким образом, структуры типа $W$ можно рассматривать как $W$-значную функцию $S$ на многообразии $M_{k}$ $k$-реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:

$S(gu^{k})=gS(u^{k}),\quad g\in GL^{k}(n),\quad u^{k}\in M_{k}.$

Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия $M$ действует как группа автоморфизмов $\pi _{W}$.

Если $W$ есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы $GL^{k}(n)$, то структуры типа $W$ называются линейными (соответственно аффинными).

Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть $V=\mathbb {R} ^{n}$, $V^{*}=\mathrm {Hom} \,(V,\;\mathbb {R} )$ и $V_{g}^{p}=((\otimes ^{p}V))\otimes ((\otimes ^{q}V^{*}))$ — пространство тензоров типа $(p,\;q)$ с естественным тензорным представлением группы $GL^{1}(n)=GL(n)$. Структура типа $V_{q}^{p}$ называется тензорным полем типа $(p,\;q)$. Её можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов $M_{1}$, сопоставляющую кореперу $\theta =j_{1}^{1}(u)=(du^{1},\;du^{2},\;\ldots ,\;du^{n})$ набор координат $S(\theta )_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$ тензора $S(\theta )\in V_{q}^{p}$ относительно стандартного базиса

$\{e_{i_{1}}\otimes e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{*j_{1}}\otimes e^{*j_{2}}\otimes \ldots \otimes e^{*j_{q}}\}$

пространства $V_{q}^{p}$. При линейном преобразовании коронера $\theta \to g\theta =(g_{a}^{i}\,du^{a})$ координаты $S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{p}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$ преобразуются по тензорному представлению:

$S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}(q\theta )=g_{a_{1}}^{i_{1}}g_{a_{2}}^{i_{2}}\ldots g_{a_{p}}^{i_{p}}(g^{-1})_{j_{1}}^{b_{1}}(g^{-1})_{j_{2}}^{b_{2}}\ldots (g^{-1})_{j_{q}}^{b_{q}}S(\theta )_{b_{1}b_{2}\ldots b_{q}}^{a_{1}a_{2}\ldots a_{p}}.$

Важнейшими примерами тензорных структур являются:

• векторное поле;
• дифференциальная форма;
• метрический тензор;
• симплектическая структура;
• комплексная структура.

Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского.

Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа $V_{(2)}^{1}$, где $V_{(2)}^{1}\approx V\otimes S^{2}V^{*}$ — ядро естественного гомоморфизма $GL^{2}(n)\to GL^{1}(n)$, которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы $GL^{2}(n)=GL(n)V_{(2)}^{1}$.

Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или $G$-структур. Их можно определить как структуры типа $W$, где $W=GL^{k}(n)/G$ — однородное пространство группы $GL^{k}(n)$.

Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие $G$-структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на $G$-структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.

Литература

1. Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — 457 с.
2. Веблен, О., Уайтхед, Дж. Основания дифференциальной геометрии. — М.: ИИЛ, 1949. — 230 с.
3. Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 413 с.
4. Васильев, А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. — М.: МГУ, 1987. — 190 с.
5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.

См. также

• $G$-структура
• $(B,\;\varphi )$-структура
• $C^{k}$-структура
• $pl$-структура
• $\Gamma$-структура
• Контактная структура
• Почти комплексная структура
• Алгебраическая структура
• Топологическая структура
• Структура Ходжа
• Математическая структура