Субдифференциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение[править | править вики-текст]

Субдифференциалом \partial f(x_0) выпуклой функции f: E \rightarrow \mathbb R в точке x_0   называется множество, состоящее из всех линейных функционалов p \in E^*, удовлетворяющих для всех x \in E неравенству

 p( x-x_0 ) \leq f(x)-f(x_0) .

Функция f(x) называется субдифференцируемой в точке x_0, если множество  \partial f(x_0) непусто.

Вектор  p \in E^* , принадлежащий субдифференциалу \partial f(x_0) , называется субградиентом функции  f(x) в точке  x_0 .

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть f1(x), f2(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, \lambda \geq 0 , тогда

  • \partial \left(f_1(x)+f_2(x) \right) = \partial \left(f_1(x) \right)+ \partial \left(f_2(x)\right) , сумма понимается в смысле суммы Минковского.
  • \partial \left(\lambda f_1(x)\right)=\lambda \partial f_1(x)
  • если функция f: E \rightarrow \mathbb R выпукла и непрерывна в точке  x \in E, то она субдифференцируема в этой точке  x \in E, то есть \partial f(x)\neq \varnothing , и ее субдифференциал \partial f(x) является множеством компактным и выпуклым
  • пусть функция  f: E \rightarrow \mathbb R выпукла и конечна. В этом случае функция f(x) дифференцируема по Гато в точке x_0 \in E тогда и только тогда, когда ее субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора \partial f(x_0)=\left\{
\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}\right\}
  • функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
  • Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.