Сублинейная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сублинейной функцией в математике называется функция f: V \rightarrow \R над действительным векторным пространством V (более общо вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:

f(\gamma x ) =  \gamma f\left( x\right)   для всех \gamma\in 
\mathbb{R}_+ и всех x ∈ V (положительная однородность),
f(x + y) \leqslant f(x) + f(y)  для всех xy ∈ V (субаддитивность).

Эквивалентные определения[править | править вики-текст]

Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:

f(\gamma x + (1 - \gamma) y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)  для всех xy ∈ V і 0 \leqslant \gamma \leqslant 1.

Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:

f(x + y) = 2 f \left( \frac {x + y}{2} \right) \leqslant 2 \left ( f \left( \frac {x + y}{2} \right) + f \left( \frac {x + y}{2} \right) \right) = f(x) + f(y).

Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.

Другое альтернативное определение: функция f: V \rightarrow \R является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:

f(\gamma x + \delta y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)  для всех xy ∈ V и всех 0 < \gamma, \delta.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Каждая линейная функция является, очевидно, сублинейной. Сублинейной будет также и функция p(x) = |f(x)|, если f(x) — линейная.
  • Длина вектора в n-мерном евклидовом пространстве является сублинейной функцией. Здесь условие субаддитивности означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин (неравенство треугольника), а положительная однородность непосредственно следует из определения длины вектора в \R^n.
  • Пусть M — пространство ограниченных последовательностей x = (x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots).

Функционал:

f(x) = \sup_i |x_i|

является сублинейным.

Свойства[править | править вики-текст]

  • f(0) = 0.. Данное утверждение получается подстановкой x = 0 в уравнение положительной однородности.
  • Ненулевая сублинейная функция может быть неотрицательной, но если f(x) \leqslant 0, \, \forall x \in V, тогда данная функция всюду равна нулю. Это следует из неравенства:
0 = f(x + (-x)) \leqslant f(x) + f(-x), \, \forall x \in V

согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным.

  • Для любого \gamma выполняется неравенство:
f(\gamma x ) \geqslant  \gamma f\left( x\right)

При \gamma > 0 это следует из определения положительной однородности, при \gamma = 0 — из первого свойства, если же \gamma < 0, то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:

0  \leqslant  f(\gamma x) + f(|\gamma| x) = f(\gamma x) + |\gamma| f( x)

или:

f(\gamma x) \geqslant - |\gamma| f( x) = \gamma f( x).

См. также[править | править вики-текст]