Сумма Гаусса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике под суммой Гаусса понимается определенный вид конечных сумм корней из единицы, как правило, записанных в виде

G(\chi) := G(\chi, \psi)= \sum \chi(r)\cdot \psi(r)

Здесь сумма берется по всем элементам r некоторого конечного коммутативного кольца R, ψ(r) — гомоморфизм аддитивной группы R+ в единичную окружность, и χ(r) — гомоморфизм группы единиц R× в единичную окружность, расширенную элементом 0. Суммы Гаусса являются аналогом гамма-функций для случая конечных полей.

Эти суммы часто встречаются в теории чисел, в частности, в функциональных уравнениях L-функций Дирихле.

Карл Фридрих Гаусс использовал свойства сумм для решения некоторых задач теории чисел, в частности он применил их в одном из доказательств квадратичного закона взаимности. Первоначально под суммами Гаусса понимались квадратичные суммы Гаусса, для которых R — поле вычетов по модулю p, а χ — символ Лежандра. Для этого случая Гаусс показал, что G(χ) = p1/2 или ip1/2, когда p сравнимо с 1 или 3 по модулю 4 соответственно.

Альтернативная форма записи суммы Гаусса:

\sum e^{\frac{2 \pi i r^2}{p}}

Общая теория сумм Гаусса была разработана в начале XIX века с использованием сумм Якоби и их разложений на простые в круговых полях.

Значение сумм Гаусса для теории чисел было выявлено только в 20-е годы XX века. В это время Герман Вейль применил для исследования равномерных распределений более общие тригонометрические суммы, впоследствии названные суммами Вейля. В то же время И. М. Виноградов использовал суммы Гаусса для получения оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по модулю р. Суммы Гаусса позволяют установить связь между двумя важными объектами теории чисел: мультипликативными и аддитивными характерами. Квадратичные суммы Гаусса тесно связаны с теорией θ-функций.

Абсолютное значение сумм Гаусса обычно находят с помощью теоремы Планшереля[en] для конечных групп. В случае, когда R — поле из p элементов и χ нетривиален, абсолютное значение равно p1/2. Вычисление точного значения общих сумм Гаусса является непростой задачей.

Свойства сумм Гаусса для характера Дирихле[править | править вики-текст]

Сумма Гаусса для характера Дирихле по модулю N

G(\chi)=\sum_{a=1}^N\chi(a)e^{2\pi ia/N}.

Если χ — примитивный, то

|G(\chi)|=\sqrt{N},

и, в частности, не равна нулю. Более общо, если N0 — кондуктор характера χ и χ0 — примитивный характер Дирихле по модулю N0, индуцирующий χ, то

G(\chi)=\mu(N/N_0)\chi_0(N/N_0)G(\chi_0)~

где μ — функция Мёбиуса.

Из этого следует, что G(χ) не равна нулю тогда и только тогда, когда N/N0 свободно от квадратов и взаимно просто с N0.

Выполняется также соотношение

G(\overline{\chi})=\chi(-1)\overline{G(\chi)},

где χ — комплексное сопряжение характера Дирихле.

Если χ′ — характер Дирихле по модулю N′, такой что N и N′ взаимно просты, то

G(\chi\chi^\prime)=\chi(N^\prime)\chi^\prime(N)G(\chi)G(\chi^\prime).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Издания на русском языке[править | править вики-текст]

  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.
  • Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956;
  • Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971;
  • Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971;
  • Прахар К. Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967;
  • Xассе Г. Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953.

Кондутор характера[править | править вики-текст]

  • Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969;
  • Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые, пер. с англ., М., 1973.