Сумма Минковского

Сумма Минковского синей и зелёной фигуры равна красной фигуре

Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B:

$C = \left\{\,c \mid c=a+b, a\in A, b\in B\,\right\}$

Аналогично определяется произведение множества на число:

$\lambda A = \left\{\,\lambda a \mid a\in A\,\right\}$

Свойства

• Если множество A выпукло, то $(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$;
• $\lambda (A+B)= \lambda A + \lambda B$
• $A + B = B + A$
• $A + \left\{0\right\} = A$

О разности Минковского

Множества с введенной на них суммой Минковского не образуют линейного пространства (даже выпуклые). Это связано с отсутствием обратного элемента (элемент -A, очевидно, таковым не является).

• Разностью Минковского множеств A и B называется максимальное множество C такое, что

  $C + B \subset A$,

но легко видеть, что для многих множеств (например, квадрата и круга) разность Минковского не является операцией, обратной к сумме.

• Альтернативно, можно продолжить сумму Минковского на линейное пространство пар выпуклых множеств (A,B) с отношением эквивалентности

  $(A, B) \sim (C, D) \Leftrightarrow A + D = B + C$

Разность Минковского также называют геометрической разностью множеств.

Литература

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.