Сумма Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Сумма Минковского синей и зелёной фигуры равна красной фигуре

Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B:

C = \left\{\,c \mid c=a+b, a\in A, b\in B\,\right\}

Аналогично определяется произведение множества на число:

\lambda A = \left\{\,\lambda a \mid a\in A\,\right\}

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если множество A выпукло, \lambda >0 и \mu >0, то (\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A;
  • \lambda (A+B)= \lambda A + \lambda B
  • A + B = B + A
  • A + \left\{0\right\} = A

О разности Минковского[править | править исходный текст]

Множества с введенной на них суммой Минковского не образуют линейного пространства (даже выпуклые). Это связано с отсутствием обратного элемента (элемент -A, очевидно, таковым не является).

  • Разностью Минковского множеств A и B называется максимальное множество C такое, что
    C + B \subset A,
но легко видеть, что для многих множеств (например, квадрата и круга) разность Минковского не является операцией, обратной к сумме.
  • Альтернативно, можно продолжить сумму Минковского на линейное пространство пар выпуклых множеств (A,B) с отношением эквивалентности
    (A, B) \sim (C, D) \Leftrightarrow A + D = B + C

Разность Минковского также называют геометрической разностью множеств.

Литература[править | править исходный текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.