Сумма Римана

Четыре метода суммирования по Риману для аппроксимации области, расположенной между кривой и осью абсцисс. Аппроксимация правым и левым методами, производится с использованием правых и левых предельных точек на каждом подынтервале соответственно. Методы максимума и минимума осуществляют аппроксимацию с использованием наибольшего и наименьшего значений предельных точек на каждом подынтервале соответственно.

Определение

Пусть $f: D \rightarrow R$ является функцией определённой на подмножестве $D$ на вещественной прямой $R$.

$I = [a, b]$ — замкнутый интервал содержащийся в $D$.

$P = {{[x_0, x_1), [x_1, x_2), ... [x_{n-1}, x_n]}}$ является разбиением $I$, в котором $a = x_0 < x_1 < x_2 ... < x_n = b$.

Сумма Римана функции $f$ с разбиением $P$ определяется следующим образом:

$S = \sum_{i=1}^{n} f(x^*_i)(x_{i}-x_{i-1})$

где $x_{i-1} \leqslant x^*_i \leqslant x_i$. Выбор $x^*_i$ в данном интервале является произвольным. Если $x^*_i = x_{i-1}$ для всех $i$, тогда $S$ называется левой суммой Римана. Если $x^*_i = x_i$, тогда $S$ называется правой суммой Римана. Если $x^*_i = \frac{1}{2}(x_i+x_{i-1})$, тогда $S$ называется средней суммой Римана. Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой.

Если Сумма Римана представляется в виде:

$S = \sum_{i=1}^{n} v_i(x_{i}-x_{i-1})$

где $v_i$ является точной верхней границей множества $f$ на интервале $[x_{i-1}, x_i]$, то $S$ называется верхней суммой Римана. Аналогично, если $v_i$ является точной нижней границей множества $f$ интервале $[x_{i-1}, x_i]$, то $S$ называется нижней суммой Римана.

Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения $x_{i-1}$ из интервала $[x^*_i, x_i]$) находится между нижней и верхней суммами Римана.