Сумма Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Четыре метода суммирования по Риману для аппроксимации области, расположенной между кривой и осью абсцисс. Аппроксимация правым и левым методами производится с использованием правых и левых предельных точек на каждом подынтервале соответственно. Методы максимума и минимума осуществляют аппроксимацию с использованием наибольшего и наименьшего значений предельных точек на каждом подынтервале соответственно.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть f: D \rightarrow R является функцией определённой на подмножестве D на вещественной прямой R.

I = [a, b]замкнутый интервал содержащийся в D.

P = {{[x_0, x_1), [x_1, x_2), ... [x_{n-1}, x_n]}} является разбиением I, в котором a = x_0 < x_1 < x_2 ... < x_n = b.


Сумма Римана функции f с разбиением P определяется следующим образом:

S = \sum_{i=1}^{n} f(x^*_i)(x_{i}-x_{i-1})

где x_{i-1} \leqslant x^*_i \leqslant x_i. Выбор x^*_i в данном интервале является произвольным. Если x^*_i = x_{i-1} для всех i, тогда S называется левой суммой Римана. Если x^*_i = x_i, тогда S называется правой суммой Римана. Если x^*_i = \frac{1}{2}(x_i+x_{i-1}), тогда S называется средней суммой Римана. Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой.


Если Сумма Римана представляется в виде:

S = \sum_{i=1}^{n} v_i(x_{i}-x_{i-1})

где v_i является точной верхней границей множества f на интервале [x_{i-1}, x_i], то S называется верхней суммой Римана. Аналогично, если v_i является точной нижней границей множества f интервале [x_{i-1}, x_i], то S называется нижней суммой Римана.


Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения x^*_i из интервала [x_{i-1}, x_i]) находится между нижней и верхней суммами Римана.


Если для функции f и отрезка [a;b] существует предел сумм Римана, когда шаг разбиения стремится к нулю (независимо от выбора x^*_i), то этот предел называют интегралом Римана функции f на отрезке [a;b] и обозначается \int\limits_a^b f(x)\,dx.