Сумма (математика)

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

• а + b = b + a
• а + (b + с) = (а + b) + с
• (а + b) с = ас + bc
• с (а + b) = ca + cb

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Определенная сумма

Часто для краткости сумму n слагаемых a_k, a_k+1, …, a_N обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма):

$a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i$

Это обозначение называют определённой (конечной) суммой $a_i$ по i от k до N.

Для удобства вместо $\sum_{i=k}^Na_i$ иногда пишут $\sum_{P(i)}^{}a_i$, где $P(i)\$ - некоторое соотношение для $i\$, таким образом $\sum_{P(i)}^{}a_i$ это конечная сумма всех $a_i\$, где $i\in Z : P(i)\$

Свойства определённой суммы

1. $\left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right)\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)$
2. $\sum_{i=k_1}^{k_2}\sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = \sum_{j=p_1}^{p_2}\sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}$
3. $\sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i$
4. $\sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i$
5. $\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}$

Примеры

1. Сумма арифметической прогрессии:

$\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}$

---

2. Сумма геометрической прогрессии:

$\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

---

3. $\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0$

Почему это так  

$\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \sum_{i=0}^n{1\cdot {\frac{1}{p^i}}} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)$

---

4. $\sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1$

Почему это так  

Доказательство:

$\sum_{i=0}^nip^i = \sum_{i=1}^nip^i = p\cdot \sum_{i=1}^nip^{i-1} = p\cdot \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i = p\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + \sum_{i=0}^{n-1}p^i\right)=p\cdot \sum_{i=0}^nip^i - p\cdot np^n + p\cdot \frac{1-p^n}{1-p} \Rightarrow$

$\Rightarrow (1-p)\sum_{i=0}^nip^i = \frac{-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}$

---

5. $\sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1$

Почему это так  

Доказательство:

$(p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\sum_{i=0}^n((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\left(n\cdot\sum_{i=0}^np^i -\sum_{i=0}^nip^i\right)+n+1 =$

$=(p-1)\left(n\cdot\frac{1-p^{n+1}}{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =$

$=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=$

$=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i$

Стоит заметить, что при $p = 10\$ получаем $\sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1$, а это последовательность равенств следующего вида:
$1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5$

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой $a_i$ по $i$ называется такая функция $f(i)$, обозначаемая $\sum_{i}^{} a_i$, что $\forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i+1}$.

Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма $\sum_{i}^{} a_i = f(i)$, то $\sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)$. 

Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Литература

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — седьмое. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.

См. также

• Контрольная сумма
• Произведение