Сумма (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат суммирования величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

a + b = b + a
a + (b + c) = (a + b) + c
(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c
c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Арифметическая сумма[править | править вики-текст]

Пусть в первой группе находится A предметов некоторого рода, во второй, соответственно, B предметов (A и B - целые положительные числа). Тогда арифметической суммой A+B будет количество предметов в группе, полученной при объединении двух исходных.

Рациональные числа[править | править вики-текст]

Пусть даны рациональные числа A и B такие, что A=\frac{m_a}{n_a}, B=\frac{m_b}{n_b} (дроби несокращаемые). Тогда A+B=\frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}.

Определенная сумма[править | править вики-текст]

Часто для краткости сумму n слагаемых ak, ak+1, …, aN обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма):

a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i

Это обозначение называют определённой (конечной) суммой a_i по i от k до N.

Для удобства вместо \sum_{i=k}^Na_i иногда пишут \sum_{P(i)}^{}a_i, где P(i)\ - некоторое соотношение для i\ , таким образом \sum_{P(i)}^{}a_i это конечная сумма всех a_i\ , где i\in Z : P(i)\

Свойства определённой суммы[править | править вики-текст]

  1. \left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)
  2. \sum_{i=k_1}^{k_2} \left( \sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} \right)= \sum_{j=p_1}^{p_2} \left( \sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}\right)
  3. \sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i
  4. \sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i
  5. \sum_{i=1}^{n}{i \cdot a_i}=(n+1) \cdot {\sum_{i=1}^{n}{a_i}}-\sum_{i=1}^{n}\left({\sum_{j=1}^{i}{a_j}}\right) - эта формула позволяет рекуррентно выводить арифметические выражения для формул вида \sum_{i=1}^{n}{i^k}

Примеры[править | править вики-текст]

1. Сумма арифметической прогрессии:

\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}




2. Сумма геометрической прогрессии:

\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}




3. \sum \limits_{k=1}^n k^3=\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^2=\left (\sum \limits_{k=1}^n  k \right )^2




4. \sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0




5. \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1




6. \sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1

Стоит заметить, что при p = 10\ получаем \sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1, а это последовательность равенств следующего вида:
1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5




Неопределённая сумма[править | править вики-текст]

Неопределённой суммой a_i по i называется такая функция f(i), обозначаемая \sum_{i}^{} a_i, что  \forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i+1}.

Формула Ньютона-Лейбница[править | править вики-текст]

Если найдена неопределённая сумма \sum_{i}^{} a_i = f(i), то \sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)

Этимология[править | править вики-текст]

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Литература[править | править вики-текст]

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — седьмое. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.

См. также[править | править вики-текст]