Сходимость по Чезаро

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Определение

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если

$\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{k}}{E_{n}^{k}}}=S,$

где $A_{n},E_{n}$ определяются как коэффициенты разложения

$\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}{(1-x)^{1+\alpha }}},$

$\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}^{\alpha }x^{n}=(1-x)^{-1-\alpha }.$

Свойства

При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}s_{j}=S,$ где $s_{j}=a_{1}+\dots +a_{j}$ — частичные суммы ряда.

Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при $k\geqslant 0$ и не являются регулярными при $k<0$. Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k´ при k´ > k > −1.

При k < −1 это свойство не сохраняется.

Если ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ является (C, k)-сходящимся, то $a_{n}=o(n^{k})$.

Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гёльдера (H, k) и Риса (R, n, k) (при k > 0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.

Пример

Пусть a_n = (−1)ⁿ⁺¹ для n ⩾ 1. То есть, {a_n} является последовательностью

$1,-1,1,-1,\ldots .$

Последовательность частичных сумм {s_n} имеет вид

$1,0,1,0,\ldots ,$

и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s₁ + … + s_n)/n} являются

${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots ,$

и в общей сложности

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\dots +s_{n}}{n}}=1/2.$

Поэтому ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Пуассону — Абелю
• Сходимость по Эйлеру
• 1 − 2 + 3 − 4 + …
• Чезаровское среднее

Ссылки

• Сходимость по Чезаро (англ.) на сайте PlanetMath.

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
• Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
• Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .