Суммы Вейля

Определение

Суммами Вейля называются тригонометрические суммы вида

$\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i f(n)}$,

где $n\in\mathbb{Z}$, а функция

$f(x) = \alpha_k x^k + \alpha_{k-1}x^{k-1} + \ldots + \alpha_1 x + \alpha_0\in \mathbb{R}[x]$

есть многочлен степени $k$ с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена $f(x)$ — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю $m$) называются суммы Вейля с функцией $f(x)=\frac{P_k(x)}{m}$:

$\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i\frac{P_k(n)}{m}}$,

где $m>1$ — некоторое фиксированное целое число, $n\in\mathbb{Z}$, а

$P_k(x) = a_k x^k + a_{k-1}x^{k-1} + \ldots + a_1 x + a_0\in \mathbb{Z}[x]$

есть многочлен степени $k$ с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля

• Если $f(x)=ax$, то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
• Если $m=p$ — простое число, то суммы Вейля с многочленом $f(x)=ax^k$ $(k>1)$ называются суммами Гаусса порядка $k$, а при $k=2$ — суммами Гаусса.
• Если $m=p$ — простое число, то для каждого $n$, не кратного $p$, в поле вычетов $\mathbb{Z}_p$ всегда существует число $n^*$, обратное к $n$:

$n^*n\equiv 1 \mod p$, и при этом $n^*\equiv n^{p-2} \mod p$.

Таким образом, суммы Вейля с многочленом $f(x) = ax^{p-1}+bx$ могут быть записаны в виде

$\displaystyle{\sum_{a<n\leqslant b}}'e^{2\pi i\frac{an^*+bn}{p}}$,

(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем $n$, не кратным $p$) и называются суммами Клоостермана.

Оценки сумм Вейля

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

Литература

• Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
• И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.