Суммы Вейля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определение[править | править исходный текст]

Суммами Вейля называются тригонометрические суммы вида

\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i f(n)},

где n\in\mathbb{Z}, а функция

f(x) = \alpha_k x^k + \alpha_{k-1}x^{k-1} + \ldots + \alpha_1 x + \alpha_0\in \mathbb{R}[x]

есть многочлен степени k с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля[править | править исходный текст]

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена f(x) — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю m) называются суммы Вейля с функцией f(x)=\frac{P_k(x)}{m}:

\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i\frac{P_k(n)}{m}},

где m>1 — некоторое фиксированное целое число, n\in\mathbb{Z}, а

P_k(x) = a_k x^k + a_{k-1}x^{k-1} + \ldots + a_1 x + a_0\in \mathbb{Z}[x]

есть многочлен степени k с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля[править | править исходный текст]

  • Если f(x)=ax, то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
  • Если m=p — простое число, то суммы Вейля с многочленом f(x)=ax^k (k>1) называются суммами Гаусса порядка k, а при k=2 — суммами Гаусса.
  • Если m=p — простое число, то для каждого n, не кратного p, в поле вычетов \mathbb{Z}_p всегда существует число n^*, обратное к n:
n^*n\equiv 1 \mod p, и при этом n^*\equiv n^{p-2} \mod p.
Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом P_{p-1}(n) = an^{p-1}+bn могут быть записаны в виде
\displaystyle{\sum_{a<n\leqslant b}}'e^{2\pi i\frac{an^*+bn}{p}},
(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем n, не кратным p) и называются суммами Клостермана.

Оценки сумм Вейля[править | править исходный текст]

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

Литература[править | править исходный текст]

  • Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
  • И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.