Суперинтегрируемая гамильтонова система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система — это гамильтонова система на 2n-мерном симплектическом многообразии Z, для которой выполняются следующие условия:

(i) Существуют n < k+1 независимых интегралов движения F_i. Их поверхности уровня (инвариантные подмногообразия) образуют расслоенное многообразие F:Z\to N=F(Z) над связным открытым подмножеством N\subset\mathbb R^k.

(ii) Существуют гладкие вещественные функции s_{ij} on N, такие что скобки Пуассона интегралов движения имеют вид \{F_i,F_j\}= s_{ij}\circ F.

(iii) Матрица s_{ij} имеет постоянный коранг m=2n-k на N.

Если k=n, то это — случай вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых гамильтоновых систем следующим образом обобщает теоремы Лиувилля — Арнольда о переменных действие — угол.

Пусть инвариантные подмногообразия суперинтегрируемой гамильтоновой системы связны компактны и взаимно диффеоморфны. Тогда расслоенное многообразие F является расслоением На торы T^m. Для данного её слоя M существует его открытая окрестность U, которая является тривиальным расслоением, наделены послойными обобщёнными координатами действие — угол (I_A,p_i,q^i, \phi^A), A=1,\ldots, m, i=1,\ldots,n-m, такими что (\phi^A) — координаты на T^m. Эти координаты являются каноническими координатами на симплектическом многообразии U. При этом гамильтониан суперинтегрируемой системы зависит только от переменных действие I_A, которые являются функциями Казимира коиндуцированной пуассоновой структуры на F(U).

Теорема Лиувилля — Арнольда для вполне интегрируемых систем и теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых систем были обобщены на случай некомпактных инвариантных подмногообразий. Они диффеоморфны тороидальным цилиндрам T^{m-r}\times\mathbb R^r.

Литература[править | править вики-текст]

  • Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113.
  • Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; arΧivmath-ph/0109031.
  • Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and applications, Acta Appl. Math. 87(2005) 93.
  • Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arΧivmath/0610790.
  • Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv: 1303.5363.

См. также[править | править вики-текст]