Суперквадрики

Примеры суперквадриков

Суперквадрики — семейство геометрических поверхностей, определяемых уравнением эллипсоида и других поверхностей второго порядка, где показатели степени 2 заменены произвольным числом. Их можно считать трёхмерными аналогами кривых Ламе (суперэллипсов).

Суперквадрики включают множество поверхностей, сходных по форме с кубом, октаэдром, цилиндром и тором со скруглёнными или острыми углами. Из-за их многообразия и относительной простоты являются популярным инструментом геометрического моделирования, включая компьютерную графику.

Некоторые авторы, например Алан Барр, включают в число суперквадрик также суперэллипсоиды и супертороиды, однако настоящие супертороиды не удовлетворяют данному выше определению; с другой стороны, некоторые суперквадрики являются суперэллипсоидами, хотя ни одно из этих семейств не включает другое.

Формулы

Неявные уравнения

В общем виде суперквадрики описываются формулой

$\left|x\right|^{r}+\left|y\right|^{s}+\left|z\right|^{t}=1,$

где r, s, t — положительные действительные числа, определяющие свойства суперквадрики.

Например, если r = s = and t то в зависимости от их значения получаются следующие геометрические формы:

• r = s = t < 1: октаэдр с вогнутыми гранями и острыми рёбрами и вершинами.
• r = s = t = 1: правильный октаэдр.
• 1 < r = s = t < 2: октаэдр с выпуклыми гранями и скруглёнными рёбрами и вершинами.
• r = s = t = 2: сфера.
• r = s = t > 2: куб со скруглёнными рёбрами и вершинами.
• r = s = t = ∞: куб.

Более разнообразные формы получаются при независимом изменении параметров. Например, при r=s=2 и t=4 получается фигура вращения, похожая на эллипсоид с плоскими концами. Это частный случай суперэллипсоида, которые получаются из квадрик при r = s.

Если показатели степени могут быть отрицательными, то разнообразие поверхностей ещё более возрастает. Эти формы иногда называют «супергиперболоидами».

Канонические суперквадрики занимают пространство внутри куба со значениями каждой из координат от −1 to +1. В общем виде суперквадрика является результатом масштабирования канонической суперквадрики по каждой из трёх координатных осей. В общем виде уравнение имеет вид

$\left|{\frac {x}{A}}\right|^{r}+\left|{\frac {y}{B}}\right|^{s}+\left|{\frac {z}{C}}\right|^{t}\leq 1$

Параметрическое описание

Параметрическое описание в координатах u (долгота) и v (широта) задаётся формулами

${\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ac\left(v,{\frac {2}{r}}\right)c\left(u,{\frac {2}{r}}\right)\\y(u,v)&{}=Bc\left(v,{\frac {2}{s}}\right)s\left(u,{\frac {2}{s}}\right)\\z(u,v)&{}=Cs\left(v,{\frac {2}{t}}\right)\\&-{\frac {\pi }{2}}\leq v\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}$

где с и s — вспомогательные функции:

${\begin{aligned}c(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\cos \omega )|\cos \omega |^{m}\\s(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\sin \omega )|\sin \omega |^{m}\end{aligned}}$

и

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}$

Plotting code

Математический пакет GNU Octave генерирует суперквадрики следующим скриптом:

 function retval=superquadric(epsilon,a)
  n=50;
  etamax=pi/2;
  etamin=-pi/2;
  wmax=pi;
  wmin=-pi;
  deta=(etamax-etamin)/n;
  dw=(wmax-wmin)/n;
  k=0;
  l=0;
  [i,j] = meshgrid(1:n+1,1:n+1)
  eta = etamin + (i-1) * deta;
  w   = wmin + (j-1) * dw;
  x = a(1) .* sign(cos(eta)) .* abs(cos(eta)).^epsilon(1) .* sign(cos(w)) .* abs(cos(w)).^epsilon(1);
  y = a(2) .* sign(cos(eta)) .* abs(cos(eta)).^epsilon(2) .* sign(sin(w)) .* abs(sin(w)).^epsilon(2);
  z = a(3) .* sign(sin(eta)) .* abs(sin(eta)).^epsilon(3);
  mesh(x,y,z);
  endfunction;

См. также

• Поверхности второго порядка
• Суперэллипс
• Супертороид
• Суперэллипсоид
• Суперъяйцо

Ссылки

• Bibliography: SuperQuadric Representations
• Superquadric Tensor Glyphs Архивная копия от 4 февраля 2012 на Wayback Machine
• SuperQuadric Ellipsoids and Toroids, OpenGL Lighting, and Timing
• Superquadrics by Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project.
• Superquadrics in Python
• Jaklič, A., Leonardis, A., Solina, F., Segmentation and Recovery of Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.