Супернатуральные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Супернатуральные числа (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число \omega является формальным произведением:

\omega = \prod_p p^{n_p},

где p может быть любым простым числом, а каждое n_p является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут v_p(\omega) для обозначения n_p. Если не выполняется условие n_p = \infty и имеется только конечное число ненулевых n_p, тогда мы получаем полностью натуральный ряд чисел. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют делить любое данное простое число \omega «бесконечно много», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного пути определить сложение для супернатуральных чисел, но они могут быть перемножены \prod_p p^{n_p}\cdot\prod_p p^{m_p}=\prod_p p^{n_p+m_p}. Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости \omega_1\mid\omega_2 если v_p(\omega_1)\leq v_p(\omega_2) для всех p. Мы можем также ввести для супернатуральных чисел понятие наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель, определив

\displaystyle \operatorname{lcm}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\sup(v_p(\omega_i))}
\displaystyle \operatorname{gcd}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\inf(v_p(\omega_i))}

С помощью этих алгоритмов мы сможем как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Мы также можем распространить обычные p-адические функции на супернатуральные числа, определив v_p(\omega)=n_p для каждого p.

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп, и благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.

Ссылки[править | править исходный текст]