Суперэллипсоид

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Примеры суперэллипсоидов

Суперэллипсоид — геометрическое тело, поперечными сечениями которого являются суперэллипсы (кривые Ламе) с одним и тем же показателем степени r, а вертикальные сечения — суперэллипсы с одним и тем же показателем степени t[1][2]. Некоторые суперэллипсоиды являются суперквадриками, однако ни одно из этих семейств не является подмножеством другого.

Частным случаем суперэллипсоида является суперяйцо, изобретённое Питом Хейном.

Математическое описание[править | править исходный текст]

Базовая форма[править | править исходный текст]

Базовый суперэллипсоид определяется уравнением

 \left( \left|x\right|^{r} + \left|y\right|^{r} \right)^{t/r} + \left|z\right|^{t} \leq 1.

Параметры r и t — положительные действительные числа, которые определяют форму фигуры, в частности — степень плоскостности полюсов и экватора. Когда t = r, суперэллипс становится частным случаем суперквадрики.

Любая параллель (горизонтальное сечение) суперэллипсоида плоскостью z = b, где -1 < b < +1, является кривой Ламе с показателем степени r, и масштабным коэффициентом

 a = (1 - \left|z\right|^{t})^{1/t};
 \left|\frac{x}{a}\right|^{r} + \left|\frac{y}{a}\right|^{r} \leq 1.

Любой меридиан (сечение плоскостью, проходящей через ось симметрии) также является кривой Ламе с показателем степени t и вытянутой в горизонтальном направлении с коэффициентом w, зависящим от положения секущей плоскости. Именно, если x = u cos θ и y = u sin θ при фиксированном θ, то

 \left|\frac{u}{w}\right|^t + \left|z\right|^t \leq 1,

где

w = (\left|\cos \theta\right|^r + \left|\sin\theta\right|^r)^{-1/r}.

В частности, если r = 2, горизонтальные сечения являются кругами, а w = 1 для всех секущих плоскостей. В этом случае суперэллипсоид является телом вращения, полученной вращением кривой Ламе с показателем степени t вокруг вертикальной оси.

Базовый суперэллипсоид располагается в пространстве внутри куба, где значения каждой из трёх координат лежат в пределах от −1 до +1. Суперэллипсоид общего вида получается масштабированием базового суперэллипсоида по координатным осям с коэффициентамиA, B, C, которые являются полуосями получившегося суперэллипсоида. Уравнение суперэллипсоида общего вида

 \left( \left|\frac{x}{A}\right|^r + \left|\frac{y}{B}\right|^r \right)^{t/r} + \left|\frac{z}{C}\right|^{t} \leq 1.

Принимая r = 2, t = 2,5, A = B = 3, C = 4, получим суперяйцо Пита Хейна.

Суперэллипсоид общего вида представляется в параметрическом виде через параметры u and v (долгота и широта)[2]:

\begin{align}
 x(u,v) &{}= A c\left(v,\frac{2}{t}\right) c\left(u,\frac{2}{r}\right); \\
 y(u,v) &{}= B c\left(v,\frac{2}{t}\right) s\left(u,\frac{2}{r}\right); \\
 z(u,v) &{}= C s\left(v,\frac{2}{t}\right); \\
 & -\pi/2 \le v \le \pi/2, \quad -\pi \le u < \pi ,
\end{align}

где

\begin{align}
 c(\omega,m) &{}= \sgn(\cos \omega) |\cos \omega|^m ; \\
 s(\omega,m) &{}= \sgn(\sin \omega) |\sin \omega|^m ;
\end{align}
 \sgn(x) = \begin{cases}
 -1, & x < 0 \\
  0, & x = 0 \\
 +1, & x > 0 .
\end{cases}

Объём суперэллипсоида выражается формулой

 V = \frac23 A B C \frac{4}{r t} \beta \left( \frac{1}{r},\frac{1}{r} \right) \beta \left(\frac{2}{t},\frac{1}{t} \right).

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Barr, A.H. (January 1981), Superquadrics and Angle-Preserving Transformations. IEEE_CGA vol. 1 no. 1, pp. 11–23
  2. 1 2 Barr, A.H. (1992), Rigid Physically Based Superquadrics. Chapter III.8 of Graphics Gems III, edited by D. Kirk, pp. 137–159

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]