Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория Янга — Миллса
Существование и гладкость  решений уравнений Навье — Стокса
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье — Стокса

В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.

Пусть $\vec v(\vec x,\;t)$ — трёхмерный вектор скорости жидкости, $p(\vec x,\;t)$ — давление. Тогда уравнения Навье — Стокса записываются так:

$\frac{\partial\vec v}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec v=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\Delta\vec v+\vec f(\vec x,\;t),$

где $\nu>0$ — это кинематическая вязкость, $\rho$ — плотность, $\vec f(\vec x,\;t)$ — внешняя сила, $\nabla$ — оператор набла и $\Delta$ — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как $\nabla\cdot\nabla$. Отметим, что это векторное уравнение, то есть оно содержит три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как

$\vec v(\vec x,\;t)=(v_1(\vec x,\;t),\;v_2(\vec x,\;t),\;v_3(\vec x,\;t)),\qquad\vec f(\vec x,\;t)=(f_1(\vec x,\;t),\;f_2(\vec x,\;t),\;f_3(\vec x,\;t)),$

то для каждого значения $i=1,\;2,\;3$ получается соответствующее скалярное уравнение Навье — Стокса:

$\frac{\partial v_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^3 v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\nu\sum_{j=1}^3\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2}+f_i(\vec x,\;t).$

Неизвестными величинами являются скорость $\vec v(\vec x,\;t)$ и давление $p(\vec x,\;t)$. Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div} (\rho \vec v)=0.$

Если среду считать несжимаемой, то это уравнение преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

$\mathrm{div} \vec v=0.$

Ссылки

• Официальное описание задачи, данное Чарльзом Фефферманом  (англ.)
• Проблемы 2000 года: уравнения Навье-Cтокса // Компьютерра, 5 октября 2005 года