Сфера

сфера (каркасная проекция)

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Объёмы цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра, находятся в соотношении 1:2:3

Основные геометрические формулы

Площадь сферы

$S = \ 4\pi r^2 = \pi d^2.$

Объем шара, ограниченного сферой

$V = \frac{4}{3} \pi r^3.$

Площадь сегмента сферы

$s = \ 2 \pi r H = 2 \pi r^2 ( 1 - \cos ( \alpha ) )$ , где H — высота сегмента, а α — зенитный угол

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение

(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = R²,

где (x₀,y₀,z₀) — координаты центра сферы, R — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x₀,y₀,z₀):

$\begin{cases} x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\ y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\ z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\ \end{cases}$

где $\theta \in [- \pi/2, \pi/2]$ и $\phi \in [0, 2\pi).$

Геометрия на сфере

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

$L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$

Однако, если угол θ задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

$L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$

В этом случае θ₁ и θ₂ называются широтами, а ϕ₁ и ϕ₂ долготами.

n-мерная сфера

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2,$

где (a₁,...,a_n) — центр сферы, а r — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

См. также

• Тела вращения
• Шар
• Сфера Римана
• Псевдосфера
• -сфера
• Небесная сфера
• Дикая сфера
• Шар (метрическая геометрия)
• Шары Данделена
• Парадокс Банаха — Тарского
• Гиперсфера
• Метрическое пространство
• Парадокс Смейла
• Телесный угол
• Упаковка шаров
• Сферическая система координат
• Шаровой слой
• Сегмент
• Эллипс
• Эллипсоид
• Окружность
• Радиан
• Кривизна
• Сфера Дайсона
• Сферический слойLOL