Сфера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
сфера (каркасная проекция)
Сфера - поверхность шара

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252,96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Объём цилиндра, объём вписанной в него сферы, касающейся обоих его оснований, и удвоенный объём конуса, с вершиной в центре одного основания цилиндра и с основанием, совпадающим с другим основанием цилиндра, находятся в соотношении 3:2:1[1]

Основные геометрические формулы[править | править исходный текст]

Площадь сферы
S = \ 4\pi r^2 = \pi d^2.
Объём шара, ограниченного сферой
V = \frac{4}{3}   \pi r^3.
Площадь сегмента сферы
s = \ 2 \pi r H = 2 \pi r^2 ( 1 - \cos ( \alpha ) ) , где H — высота сегмента, а  \alpha  — зенитный угол

Сфера в трёхмерном пространстве[править | править исходный текст]

Уравнение

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2,

где (x_0,y_0,z_0) — координаты центра сферы, R — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x_0,y_0,z_0):

\begin{cases}
x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\
y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\
z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\
\end{cases}

где \theta \in [0, \pi] и \phi \in [0, 2\pi).

Геометрия на сфере[править | править исходный текст]

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Расстояние между двумя точками на сфере[править | править исходный текст]

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).

Однако, если угол \theta задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).

В этом случае \theta_1 и \theta_2 называются широтами, а \phi_1 и \phi_2 долготами.

n-мерная сфера[править | править исходный текст]

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2,

где (a_1,...,a_n) — центр сферы, а r — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск № 12, 2008). Блестящий ум