Сфера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Сфера (значения).
сфера
сфера

Сфе́ра — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полукруга вокруг своего диаметра.

Сфера является частным случаем эллипсоида у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны.

Содержание

[править] Двумерная сфера (в трёхмерном пространстве)

Уравнение сферы

(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2

где (x0,y0,z0) — координаты центра сферы, R — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в начале координат:

\left\{ \begin{matrix} x&=& R \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi\\ y&=& R \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi\\ z&=& R \cdot \cos \theta \end{matrix} \right. , где \left\{ \begin{matrix} \theta \in [0, \pi]\\ \phi \in [0, 2\pi)\\ \end{matrix} \right.

Сфера является поверхностью шара. Площадь поверхности сферы 4πR2.

[править] Геометрия на сфере

Основная статья: Сферическая геометрия

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

[править] Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) )


Однако если угол θ задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) )

В этом случае θ1 и θ2 называются широтами ("вертикальный" угол), а φ1 и φ2 долготами ("горизонтальный" угол).

P.S. Слова "вертикальный" и "горизонтальный" заключены в кавычки так как это лишь пояснения, а не употребляемые термины.

[править] n-мерная сфера

Основная статья: Гиперсфера

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2, где (a1,...,an) — центр сферы, а r — радиус.

Пересечение двух n-мерных сфер — n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

[править] См. также


Формула Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0»