Схема с разностями против потока

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Схема с разностями против потока в вычислительной физике — класс методов дискретизации для решения (явными схемами) дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (гиперболических уравнений).

Например, одномерное уравнение волны имеет вид


\qquad \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0

Оно описывает распространение волны в направлении x со скоростью a. Такое уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции. Рассматривая обыкновенную точку сетки i, в одномерном случае есть только два допустимых направления, левое и правое. Если a положительна, то левая сторона называется направлением против потока, а правая сторона называется направлением по потоку. (Если a отрицательна, то наоборот). Если при использовании конечных разностей для пространственной производной \partial u / \partial x содержит больше точек на стороне против потока, то схема называется схемой с разностями против потока[1].

Первого порядка[править | править вики-текст]

Простейший пример, пример первого порядка:[2]

\quad (1) \qquad \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} + a \frac{u_i^n - u_{i-1}^n}{\Delta x} = 0 \quad \text{for} \quad a > 0
\quad (2) \qquad \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} + a \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} = 0 \quad \text{for} \quad a < 0

Компактная форма[править | править вики-текст]

Определяя

\qquad \qquad a^+ = \text{max}(a,0)\,, \qquad a^- = \text{min}(a,0)
\qquad \qquad u_x^- = \frac{u_i^{n} - u_{i-1}^{n}}{\Delta x}\,, \qquad u_x^+ = \frac{u_{i+1}^{n} - u_{i}^{n}}{\Delta x},

два условных уравнения (1) и (2) можно записать в одном:

\quad (3) \qquad u_i^{n+1} = u_i^n - \Delta t \left[ a^+ u_x^- + a^- u_x^+ \right]

Такое уравнение представляет схемы с разностями против потока в общем виде. Стабильность схемы с разностями против потока определяется критерием Куранта — Фридрихса — Леви.[3]

Источники[править | править вики-текст]

  1. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. — Springer, 1992. — ISBN 9783540530589.
  2. Patankar S. V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. — Taylor & Francis, 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4.
  3. Hirsch C. Numerical Computation of Internal and External Flows. — John Wiley & Sons, 1990. — ISBN 978-0-471-92452-4.