Сходимость почти всюду

Последовательность функций схо́дится почти́ всю́ду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, пренебрежимо мало.

Определение

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ пространство с мерой, и $f_n, f:X \to \mathbb{R},\; n \in \mathbb{N}$. Говорят, что {f_n} сходится почти всюду, и пишут $f_n \to f$ μ-п.в., если

$\mu \left(\{x \in X \mid \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) \not= f(x)\}\right) = 0$.

Терминология теории вероятностей

Если $(X,\mathcal{F},\mu) = (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ есть вероятностное пространство, и X_n,X — случайные величины, такие что

$\mathbb{P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim\limits_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega)\}\right) = 1$,

то говорят, что последовательность {X_n} схо́дится почти́ наве́рное к X.

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду (почти наверное).
• Пусть $f_n \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)\; \forall n \in \mathbb{N}$, где $1 \le p < \infty$, и {f_n} сходится почти всюду к f. Пусть также существует функция $g\in L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ такая, что $|f_n(x)|\leq |g(x)|$ для всех n и почти всех $x\in X$ (суммируемая мажоранта). Тогда $f \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)$, и $f_n \to f$ в L^p. Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в L^p. Например, последовательность функций nχ_{[0,1 / n]} сходится к 0 почти всюду на [0,1], но не сходится в L¹[0,1].
• Сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт сходимость по мере (по вероятности).

См. также

• Почти всюду