Сходимость по Борелю

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. В общем, существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Определение[править | править вики-текст]

  • Пусть дан числовой ряд \sum_{n=0}^\infty a_n. Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:
\lim_{x \to \infty} e^{-x} \sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{x^k}{k!}S_k = S, где Sk — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.
  • Пусть дан числовой ряд \sum_{n=0}^\infty a_n. Ряд называется сходящимся по Борелю (или B'-сходящимся), если существует интеграл:
\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_n\frac{a_n}{n!}t^n = S

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим ряд \sum_0^\infty n!x^n. Данный ряд является расходящимся для произвольного x\neq 0. Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

\sum_0^\infty n!x^n=\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_{n=0}^\infty (xt)^n =\int _0^\infty dt\frac{e^{-t}}{1-xt},

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть функция:

f(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку P \in C проведём отрезок OP\, и прямую L_p\,,, которая проходит через точку Р перпендикулярно к OP\,. Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых L_p\,, обозначим \Pi \,. Тогда граница \Gamma\, области \Pi \, называется многоугольником Бореля функции f(z), а область \Pi \, её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

 \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}

является B-сходящимся в области \Pi \, и не является B-сходящимся в области \Pi^* \, — дополнены до \Pi \, .

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
  • Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
  • Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .