Сходимость по Чезаро

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро[1]. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Определение[править | править вики-текст]

Ряд \sum_{n=1}^\infty a_n называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если:

\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^k}{E_n^k} = S

где A_n, E_n определяются как коэффициенты разложения:

\sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n=\frac{\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}}{(1-x)^{1+\alpha}},
\sum_{n=0}^\infty E_n^\alpha x^n=(1-x)^{-1-\alpha},

Свойства[править | править вики-текст]

При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n s_j = S, где  s_j = a_1 + \cdots + a_j — частичные суммы ряда.

Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при k \geq 0 и не являются регулярными при k < 0. Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k' при k' > k > −1.

При k <-1 это свойство не сохраняется.

Если ряд \sum_{n=1}^\infty a_n является (C, k)-сходящимся, то a_n = o(n^k)\,.

Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гельдера (H, k) и Рисса (R, n, k) (k >0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть an = (-1)n+1 для n ≥ 1. То есть, {an} является последовательностью

1, -1, 1, -1, \ldots.\,

Последовательность частичных сумм {sn} имеет вид:

1, 0, 1, 0, \ldots,\,

и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s1 + … + sn)/n} являются

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

и в общей сложности

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2.

Поэтому ряд \sum_{n=1}^\infty a_n является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Сеsarо E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
  • Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
  • Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
  • Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
  • Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .