Счётная мера

Счётная ме́ра в функциональном анализе - это формальный эквивалент количества элементов множества.

Определение

Пусть $(X,\mathcal{F})$ - измеримое пространство, такое что любая точка $x\in X$ является измеримым множеством, то есть $\{x\} \in \mathcal{F}$. Тогда мера $\mu$, определённая следующим образом: $\mu(A) = \vert A \vert$ - количество элементов в $A$, если $A$ - конечное множество, и $\infty$, если $A$ бесконечно, называется счётной мерой.

Замечания

• Очевидно, счётная мера конечна, если $\vert X \vert < \infty$, и бесконечна в противном случае.
• Если $X$ - счётное множество, то счётная мера σ-конечна.