Счётное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция X\leftrightarrow \mathbb{N} , где {\mathbb N} обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом \alef_0 (произносится: "алеф-нуль").

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).[1]
  2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[1]
  3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
  4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
  5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры[править | править вики-текст]

Счётные множества[править | править вики-текст]

Несчётные множества[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 62 — 63. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также[править | править вики-текст]