Таблица умножения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Таблица Кэли»)
Перейти к: навигация, поиск

Табли́ца умноже́ния, она же табли́ца Пифаго́ра — таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение. Используется для обучения школьников умножению.

Содержание

Историческая справка[править | править исходный текст]

Таблица умножения Пифагора в записи греческими буквами

Первое известное в истории математики изображение таблицы умножения в виде квадрата 10x10 приведено в книге «Введение в арифметику» Никомаха Геразского (I-II век). Автор отмечал, что такое изображение таблицы умножения  применял Пифагор (ок. 570-500 г. до. н.э.). Цифры таблицы Пифагора были записаны в ионийской нумерации, использующей 24 буквы греческого алфавита и 3 архаические буквы финикийцев (6=вау, 90=коппа, 900=сампи). Чтобы отличить цифры от букв, над числами рисовали горизонтальную черту – титло.

На рисунке таблицы умножения Пифагора показана симметрия единиц для множителей, расположенных симметрично относительно центра (5;5). Дополнение до полного десятка обозначено A* = 10 - A.

Имеются существенные отличия древнегреческой записи десятичных чисел от современной записи чисел по разрядам:

  • не используется нуль,
  •  цифры-буквы 1, 2, …, 9 не используются для обозначения полных десятков, полных сотен и полных тысяч, которые обозначены собственными буквами.

Заметим, что у древних народов не было знаков суммы и разности. Если в паре чисел-букв левое число больше, то они суммируются, если левое число меньше, из правого числа-буквы вычитается левое. (Обратите внимание на запись римских чисел IX=9, X=10, XI=11).

В средние века в России и Европе часто применялось умножение A×B способом удвоения, не использующее таблицу Пифагора. Этот трудоёмкий алгоритм соответствует разложению второго множителя в некоторую сумму из степеней двойки: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; … Так, 6=4+2; 21=16+4+1. Производится умножение A×B(i).Все выделенные промежуточные результаты суммируются A×B = A×B(1) + … + A×B(n).

Стихи о таблице умножения[править | править исходный текст]

Владимир Даль. Солдатские досуги. (1861). Таблица умножения.

Волга Дону пошире: У кого аршин, тому и мерять: Четырежды четыре шестнадцать, Кинь указку, пойдём гулять:
Дважды два четыре. Трижды три девять. Четырежды пять двадцать. Пятью пять, двадцать пять.
Нет книг у дяди, а карты есть: Слушай ухом: без восьми двадцать: На мосту - по-татарски - на купире: Коли нет, так нечего взять:
Дважды три шесть. Трижды четыре двенадцать. Четырежды шесть двадцать четыре. Пятью семь – тридцать пять.
Хлеб жнём, а сено косим: Трижды пять пятнадцать, Угодно откушать, так милости просим: И мал золотник, да дорог:
Дважды четыре восемь. Трижды шесть восемнадцать. Четырежды семь двадцать восемь. Пятью восемь сорок.
Без закваски хлеб не месят: Мучицы и маслица, вот тебе блин: Кто атаман, у того и булава: Бери оглоблю, пойдём воевать:
Дважды пять десять. Трижды семь двадцать один. Четырежды восемь – тридцать два. Пятью девять сорок пять.
На руках, на ногах пальцев двадцать: Мало ль диковин в Божьем мире: Велика честь, да нечего есть: Отлежал бока, от того и болят:
Дважды шесть двенадцать. Трижды восемь двадцать четыре. Четырежды девять тридцать шесть. Пятью десять пятьдесят.
Пять пальцев убрать - пятнадцать: Днём свет, а ночью темь: И крот в своём углу зорок:
Дважды семь четырнадцать. Трижды девять двадцать семь. Четырежды десять сорок.
Дважды девять восемнадцать,
Дважды десять двадцать.
Мастер Самсоныч лапти плесть: Дурни плодятся, не надо их сеять: Не буянь у хозяина на квартире: Делам своим всяк сам господин:
Шестью шесть тридцать шесть. Семью семь сорок девять. Восемью восемь шестьдесят четыре. Девятью девять восемьдесят один.
Что заслужили, то и носим: Ино прилечь, ино присесть: Живи, поколе на плечах голова: Что хитро, то и просто:
Шестью восемь сорок восемь. Семью восемь пятьдесят шесть. Восемью девять семьдесят два. Девятью десять девяносто.
Кто сказку слышал о царе Кире? Чего не знаешь, того не ври: Полно долбить, покинь долото:
Шестью девять пятьдесят четыре. Семью девять шестьдесят три. Десятью десять сто.
Полезай на стену, коли велят: Рядком сумы на простенке висят:
Шестью десять шестьдесят. Семью десять семьдесят.

............................................................................................................................................

Владимир Творогов (2011).  Квадраты чисел.

................... ........................................................................................................................
1 × 1 = 1 Один на один – сам себе господин.
2 × 2 = 4 Дважды два – четыре, это всем известно в целом мире.
3 × 3 = 9 Три на три – у телефона девять цифр и много звона.
4 × 4 = 16 Четыре собаки купались в реке, шестнадцать следов на песке.
5 × 5 = 25 Пятью пять – двадцать пять, это надо знать!
6 × 6 = 36 Шестью шесть – полна корзина, и десятков – половина
7 × 7 = 49 Семью семь – сорок девять, не забудь проверить!
8 × 8 = 64 Восемь на восемь – в шахматном мире клеток на поле шестьдесят четыре.
9 × 9 = 81 Единицу от девятки отнеси направо, вот и вся забава!
................... ........................................................................................................................

Для детей полезны стихи, активизирующие образную память. В стихах можно найти и яркие запоминающиеся образы, и некоторые цифровые правила получения чисел результатов.

Изучение[править | править исходный текст]

В своё время введение заучиваемой наизусть таблицы умножения революционизировало устный и письменный счёт. До этого использовались разные хитрые способы вычисления произведений однозначных чисел, которые сильно замедляли весь процесс и служили источником дополнительных ошибок.

В российских школах значения традиционно доходят до 10×10. В Великобритании до 12×12, что связано в том числе с единицами английской системой мер длины (1 фут = 12 дюймов) и денежного обращения (существовавшей до 1971 г.: 1 фунт стерлингов = 20 шиллингам, 1 шиллинг = 12 пенсам).

В Советском Союзе таблицу умножения обычно «задавали на лето» после 1-го класса, а закрепляли на занятиях во 2-м классе (в возрасте 8 лет). В российских школах чаще всего проходят во 2-м классе. По стандартам английского школьного образования таблица умножения должна быть выучена к возрасту 11 лет (планируется ужесточение требования до 9 лет).[1]

Пифагорово представление таблицы умножения[править | править исходный текст]

Таблица умножения в десятичной системе
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Линейные цифровые правила сокращённых вычислений[править | править исходный текст]

По определению, произведение A × B = [D; E] равно сумме B раз числа A:    A × B = A + A + …+ A.

Эффективное цифровое правило – это алгоритм, позволяющий указать цифры десятков D и единиц E произведения проще и быстрее, чем выполняется многократное сложение. Если алгоритм выполняется по времени дольше, чем звучит заученная фраза типа «пятью пять – двадцать пять», то цифровое правило не эффективно.

Стандартные формулы сокращённого умножения, использующие дополнение:

Умножение на 10.

Самое полезное цифровое правило – это правило умножения на 10: чтобы получить произведение, нужно «приписать нуль справа» A×10 = [A; 0].

Умножение на 9.

Сокращенное цифровое правило умножения на 9: десятки D = A – 1, единицы E = 10 – A.

Обозначим дополнение до полного десятка звездочкой: A* = 10 – A.

Из определения следует, что A + A* = 10. Например, 9+1 = 10, 8+2 = 10, 7+3 = 10, 6+4 = 10, 5+5 = 10.

Вычислительная формула 9×A = [ (A – 1); (10 – A)] = [ (A – 1); A*].

Умножение на 8.

Вычислительная формула 8×A = [ (A – 2); ( 8* × (10–A) ) ] = [ (A – 2); (2×A*) ].

Умножение на 7.

Вычислительная формула 7×A = [ (A – 3); ( 7* × (10–A) ) ] = [ (A – 3); (3×A*) ].

Умножение на 6.

(1) Вычислительная формула 6×A = [ (A – 4); ( 6* × (10–A) ) ] = [ (A – 4); (4×A*) ].


(2) Пусть H - чётное число. Тогда 6×H = [ (H/2); H ].

Пусть A -нечётное число. Тогда 6×A = [ {A/2}; (A + 5) ]. Здесь обозначено: {A/2} - целая часть числа A/2, дробная часть отбрасывается.

Умножение на 5.

5×A =  [ (A/2); 0 ]. Здесь, по определению,   [1/2; 0] = 5.

Для умножения в диапазоне от 1×1 до 5×5 стандартных линейных цифровых правил нет, так как вычисление с помощью дополнения оказывается сложнее самого примера.

Обобщение. Правила сокращённого умножения с использованием дополнения.

Пусть A и B находятся в диапазоне {6, 7, 8, 9}. Произведение множителей выражается через дополнения

A × B = [ (A + B – 10); (A* × B*) ] = [ (A – B*); (A* × B*) ].

Упрощается умножение величин более 5, так как в разряде единиц остаётся произведение величин менее 5.

Недостатки. Правила сокращённого умножения с использованием дополнения не дают прямого указания цифр десятков D и цифр единиц E результата. Они не охватывают примеров умножения младших множителей менее 5.

Как пифагорейцы учили таблицу умножения (гипотеза)[править | править исходный текст]

Абак из мрамора, найденный в 1848 г. при раскопках на острове Саламин Размеры 150x75 см. Датировка - ок. 300 г. до н.э.

У пифагорейцев Древней Греции, создавших теоретический фундамент арифметики, выделялся раздел, описывающий правила действия над числами, который назывался логистикой (Λογιστιχμ – счетное искусство).

Счет проводился, в основном, на счетной доске – абак – с помощью камешков.

При раскопках на острове Саламин в 1848 г. найден гигантский абак, выточенный из мрамора в виде тонкой плоской пластины размерами 1,5 на 0,75 метра. На абаке проведены вертикальные борозды, разделяющие камешки с разными значениями (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000). Саламинский абак выделял и дробные значения 1/2, 1/4. Полученные с помощью абака числа записывались в ионийской буквенной системе числовой нотации.

Сложные вычисления всегда связаны с большим количеством мелких этапов вычислений, часть которых может быть выполнена в уме, что существенно ускоряет действия. По-видимому, у пифагорейцев многие операции устного счета выполнялись как геометрические построения на координатной сетке. Необходимые линии нарисованы на абаке. Простые расчёты в уме опирались на наглядные представления.

Как пифагорейцы и их многочисленные ученики использовали свои знания о таблице умножения в устном счёте? Что заучивали наизусть, что вычисляли по простым алгоритмам в уме, что приходилось записывать? Прямого ответа на этот вопрос у историков математики нет.

Полагаем, что неправильно переносить на всех учеников Древней Греции современный постулат о том, что каждый ученик должен заучивать все примеры умножения однозначных чисел от 1×1 до 10×10 как словесные фразы типа «дважды два – четыре». Почему возникают такие сомнения? В прямом заучивании фраз не используются очевидные геометрические знания:

  • представление результатов в виде квадратной таблицы умножения Пифагора;
  • геометрическое определение умножения A×B как площади прямоугольника со сторонами A и B;
  • знания о симметриях единиц в таблице умножения (см. рис. выше).

Геометрическое решение примеров умножения от от 5×5 до 10×10.

Пусть 5<A<10 и 5<B<10. Построения проведены на квадрате 10×10. Отсчет ведём от левой верхней точки (0;0) вниз – для первого множителя A, направо – для второго множителя B. Отмечаем A и B на осях координат. Оставшиеся отрезки квадрата 10×10 равны дополнениям A*=10 – A и B*=10 – B. От отрезка A отрезаем B*. От отрезка B отрезаем A* (рис.).

Расчёт 7x8 на координатной сетке с помощью алгоритма "двух камешков". Возможный метод устного счёта в Древней Греции.

Получаем прямоугольники A* × B* и A* ×(A–B*). На правом рисунке показано, как переместить фигуры, чтобы получить из A×B равновеликую площадь из двух прямоугольников 10×(A – B*) и A*×B*.

Площадь прямоугольника 10×(A–B*)=10×(10–A*–B*)=10×(A+B–10) показывает нам число десятков D=A–B* произведения A×B. Площадь прямоугольника E=A*×B* показывает число единиц E произведения A×B A×B = 10 × ( A – B* ) + A* × B* = [D; E], где E < 25. Если E = A*×B* > 9, тогда число в ответе требует нормализации, то есть, нужно перенести «лишние» десятки в старший разряд.

Алгоритм "двух камешков" для вычисления призведений от 5×5 до 10×10 (Современная реконструкция).

На правой и нижней координатной линии отмечаем камешками величины двух множителей: A – точка (1) и B – точка (2).

1-й шаг. Перемещаем 1-й камешек A налево на величину B*. Теперь этот камешек отмечает прямоугольник от точки A×B до точки 10×10, его площадь равна числу единиц E=A*×B* произведения A×B.

2-й шаг. Строим окружность с центром во 2-ом камешке радиусом A*. Перемещаем 1-й камешек из точки A налево в точку пересечения окружности и горизонтальной линии – точка (3). Отрезок от точки (10; 0) до (10; D) даёт

  D = 10 – A* – B*,    где D – число десятков произведения A×B.

В итоге D = 10 – A* – B* = A – B*.

Пример. 7×8 = ? A = 7, B = 8. A* = 10 – 7 = 3; B* = 10 – 8 = 2.

Е=A*×B*= 3×2 = 6. D = A – B* = 7 – 2 = 5. Ответ: 7×8 = 10×5 + 6 = 56.

Алгоритм "двух камешков" для вычисления призведений от 10×10 до 15×15.

В случае, когда множители A и B превосходят 10, геометрическое построение выполняется справа и ниже точки 10×10 (рис.). Алгоритм «двух камешков» прежний, но камешки смещаются направо.

Расчёт 12x12 на координатной сетке с помощью алгоритма "двух камешков".

Здесь нагрузка на визуальную память минималььная. Так, чтобы умножить 12×12, достаточно представить в визуальном воображении квадрат 2×2.

Если A\leq 13 и B\leq 13, тогда Е=A*×B* \leq 9. Нормализация с переносом «лишних» десятков в старший разряд не требуется. Алгоритм умножения методом пифагоровых схем в диапазоне множителей A и B от 7×7 до 13×13 даёт точные цифры H, D и E. (Этот идеальный случай должен был понравиться пифагорейцам).

Итак, если пифагорейцы владели алгоритмом «двух камешков», то они заучивали результаты таблицы умножения от 1×1 до 13×13. Причём младшие множители до 5×5 заучивались на память как площади стандартных прямоугольников, эти результаты относятся к очевидным фактам, вспоминаемым «с первого взгляда». Результаты умножения от 6×6 до 10×10 вычислялись в уме с помощью алгоритма двух камешков в варианте построений внутри квадрата 10×10. Результаты умножения от 11×11 до 13×13 строились в уме алгоритмом «двух камешков», использующих координаты правее и ниже точки (10;10).

Подробнее см. статью Творогов_В.Б. Как пифагорейцы учили таблицу умножения. [2]

Вычисление «на пальцах»[править | править исходный текст]

Умножение "на пальцах" 7 × 8 = 56

Приведённые выше линейные правила сокращённого умножения можно демонстрировать на пальцах двух рук.

Вычисление «на пальцах» A × B. (Учебная игра).

Повернём руки ладонями к себе. Пронумеруем пальцы левой и правой руки числами от 6 до 10 снизу вверх.

Соединим два пальца с номером A на левой руке и номером B на правой руке, соответствующие множителям A x B решаемого примера.

Верхними пальцами назовем те пальцы, которые выше пальца A на левой руке, и выше пальца B на правой руке.

Нижние пальцы те, которые включают отмеченный палец и те, у которых номера меньше.

Применяем правило:

Десятки D произведения A × B равны сумме «нижних» пальцев двух рук.

Единицы E ответа равны произведению «верхних» пальцев левой руки на «верхние» пальцы правой руки.

Пример. 7 × 8. Отметим 7 – на левой руке второй снизу палец. Отметим 8 – на правой руке третий снизу палец.

На левой руке снизу 2 пальца, на правой руке внизу 3 пальца, поэтому десятки D = 2 + 3 = 5.

На левой руке сверху 3 пальца, на правой руке сверху 2 пальца, поэтому единицы E = 3 × 2 = 6.

Ответ 7 × 8 = [D; E] = 56.

Пример. 6 × 8. Отметим 6 – на левой руке первый снизу палец. Отметим 8 – на правой руке третий снизу палец.

На левой руке снизу 1 палец, на правой руке внизу 3 пальца, поэтому десятки D = 1 + 3 = 4.

На левой руке сверху 4 пальца, на правой руке сверху 2 пальца, поэтому единицы E = 4 × 2 = 8.

Ответ 6 × 8 = [D; E] = 48.

Таблица умножения Пифагора в формате девятилистника умножения[править | править исходный текст]

Квадратная таблица Пифагора – не единственный возможный формат расположения произведений множителей.

Имеется специальный формат таблицы умножения – девятилистник, для которого существуют алгоритмы, явно указывающие по известным множителям A и B цифры D и E произведения A×B.

Таблица AxB в формате девятилистника умножения. Лист умножения на фиксированный множитель A представляет собой матрицу 3×3.

Каждый лист умножения представляет собой телефонную Т-матрицу, в ячейках которых разложим карточки с примерами умножения.

Структурное правило девятилистника требует, чтобы пример A × B = [D; E] был размещён на листе A в ячейке E.

Взаимное расположение разных листов умножения также подсказано строением Т-матрицы.

Последовательность чтения результатов на листе с номером A задаёт ломаная линия «A-молнии», состоящая из стрелочек-указателей.

Каждая стрелочка на листе A соответствует примеру сложения A + B = [D; E], она ведёт от числа B к единицам E суммы (A + B).

Впервые рисунок девятилистника умножения опубликован в патенте РФ № 2139575 в 1999 г.[3]

Модели таблицы умножения[править | править исходный текст]

Планетарная модель - «вращение планет» на девятилистнике умножения[править | править исходный текст]

Сравнение линий молнии показывает, что на нечётных листах 1, 3, 7, 9 мы наблюдаем одну и ту же фигуру нечётной молнии в разных положениях поворота. Фигура молнии перемещается с одного листа на другой как твёрдое тело. Если задать траекторию перемещения между листами девятилистника в виде окружности, то нечётную молнию можно представлять как планету, облетающую центральное светило.

Нечётные листы девятилистника умножения. Линия чтения результатов - нечётная молния - напоминает планету, совершающую облёт центрального светила (листы 1, 3, 9, 7)
Чётные листы девятилистника умножения. Линия чтения результатов - чётная молния - напоминает планету, совершающую облёт центрального светила (листы 2, 6, 8, 4).

За время поворота по орбите вокруг центрального солнца «планета» – нечётная молния  поворачивается вокруг своей оси на такой же угол. Любопытно, что планета всегда повернута к солнцу одной и той же стороной, как и Луна при вращении вокруг Земли. Числа на неподвижной Т-матрице листа умножения указывают постоянные направления на «далёкие звезды».

В таблице умножения на девятилистнике есть вторая «планета» – чётная молния, которая показана на чётных листах. Она поворачивается не только вокруг светила, но и вокруг своей оси.

Модель, показывающая вращение молний на листах девятилистника умножения, названа моделью планетарного вращения единиц в таблице умножения (В. Б. Творогов 1999 г.).

Крылатая фраза «И все-таки она вертится!» – относится не только к Земле как планете солнечной системы, но и к нашей десятичной таблице умножения, в которой наблюдаются удивительные аналогичные явления.

Цифровые вертушки на Т-матрице[править | править исходный текст]

Цифровые вертушки на Т-матрице. Поворачивающаяся плоскость - пропеллер - несёт рисунок нечётной молнии (1-й лист). На пропеллере другой вертушки имеется рисунок чётной молнии (2-й лист).

Конструкция цифровой вертушки состоит из двух плоскостей, на которых нарисованы Т-матрицы и, если необходимо, другие фигуры. Через центры матриц проходит ось вращения, перпендикулярная их плоскостям. Дальняя от нас плоскость неподвижна, она называется основной плоскостью или основой.

На основной плоскости размещают числовые результаты умножения (или только единицы результатов). Можно использовать прозрачную плоскость пропеллера цифровой вертушки или сделать на поворачиваемой плоскости вырезы, через которые видны числа на основной плоскости.

Для базовой конструкции вертушки потребуется два разных пропеллера цифровой вертушки

(1) с рисунком нечетной молнии и

(2) с рисунком чётной молнии.  

Узлы молнии пронумерованы по порядку появления на ломаной линии молнии 1-2-3-4…

В исходном положении молний мы видим 1-й лист (нечётная молния) и 2-й лист (чётная молния) девятилистника умножения. Четыре положения поворота пропеллера показывают разные листы умножения. Начальный узел молнии, нарисованный на пропеллере, указывает число A на основной Т-матрице. (Это – постоянный множитель A для всех примеров умножения на листе).

Ломаная линия из указателей A-молнии, изображённая на пропеллере, позволяет прочитать последовательные результаты умножения (A×1); (A×2); …; (A×9).

Правила единиц. Метод неподвижного наблюдателя и метод карусели[править | править исходный текст]

Правило единиц умножения на цифровой вертушке. (Универсальное правило).

Цифра единиц E (A × B) находится на A-молнии возле её узла с номером B.

Имеются геометрические алгоритмы определения единиц произведения на цифровой вертушке.

Метод неподвижного наблюдателя. (A не равно 5).

Берём молнию той же чётности, что и число A.

Шаг 1. Отмечаем фишкой узел 1-молнии с номером B.

Шаг 2. Поворачиваем пропеллер вертушки так, чтобы начальный узел молнии указывал число A на основной Т-матрице. (Теперь 1-молния превратилась в A-молнию).

Переносим фишку с пропеллера на основную Т-матрицу.

Фишка показывает цифру единиц E произведения AxB.

Метод карусели. (A не равно 5).

Представим себе, что мы стоим в центре пропеллера цифровой вертушки и поворачиваемся вместе с ним. Берём молнию той же чётности, что и число A.

Шаг 1. Поворачиваемся вместе с пропеллером вертушки лицом к числу A на основной Т-матрице.

Отмечаем фишкой узел молнии с номером B.

Шаг 2. Переносим фишку с пропеллера на Т-матрицу и возвращаемся в исходное положение.

Фишка на основной Т-матрице показывает цифру единиц E произведения AxB.

Цифровые вертушки впервые описаны в патенте РФ №2139574, 1999,[4].

Цифровые вертушки  представляют собой инструменты счёта с новым принципом действия – поворотом луча на Т-матрице.

При вычислениях в уме человек визуально представляет геометрические элементы, наблюдаемые на цифровой вертушке. Расчёт выполняется путём геометрического построения на Т-матрице, итогом которого являются цифры произведений [D;E], (правила десятков приведены далее).

На девятилистнике действует принцип – «место расположения определяет результат».

Вращающаяся таблица умножения[править | править исходный текст]

Чтобы охватить все примеры таблицы Пифагора, нужны две цифровые вертушки - нечётная и чётная, в зависимости от чётности первого множителя A.

На пропеллере нечётной вертушки изображена нечётная молния, а на пропеллере чётной вертушки нарисована чётная молния.

Компактное представление каждого листа умножения (кроме 5-го) в формате Т-матрицы демонстрирует цифровая вертушка, получившая название вращающейся таблицы умножения.

Вращающаяся таблица умножения для нечётных множителей 1, 3, 7, 9.
Вращающаяся таблица умножения для чётных множителей 2, 4, 6, 8.

На пропеллере прорезаны окошки для наблюдения за числами результатов. На основной плоскости вращающейся таблицы умножения записаны произведения – десятки и единицы примеров умножения. При поворотах пропеллера меняются числа в окошках.

Последовательность чтения результатов умножения показывает линия из стрелочек – «молния» Т-матрицы. Для 1-го листа умножения молния показывает порядок возрастания чисел: слева направо в строке (+1) и сверху вниз по строкам (+3).

Последовательность чтения результатов 2-го листа (умножение на 2) задаёт «чётная молния», указывающая на следующее по величине чётное число Т-матрицы.

Повороты пропеллера позволяют прочитать в окошках пропеллера все произведения A × B = [D; E].

Место расположения карточки с примером определяется местом числа E на основной Т-матрице (структурное правило девятилистника умножения).

Ступенчатые 3D модели таблицы Пифагора[править | править исходный текст]

Ступенчатая модель A-листа умножения представляет собой лист девятилистника умножения, ячейки которого подняты над основанием Т-матрицы на высоту в D этажей, где D – величина десятков произведения AxB=[D;E].

Ступенчатая 3D - модель нечётных листов таблицы умножения 1, 3, 7, 9.
Ступенчатая 3D - модель чётных листов таблицы умножения 2, 4, 6, 8.

Указывая одну точку на ступенчатой модели, мы получаем одновременно две цифры: цифру E как проекцию на Т-матрицу, цифру D как высоту этажа над основанием.

Последовательноть чтения результатов на A-листе умножения задаётся A-молнией Т-матрицы.

Ступенчатые модели предлагают удобные компактные визуальные образы, мгновенно подсказывающие результаты умножения в технологии быстрого счёта.

Ступенчатые модели исследовал В.Б. Творогов [5].

Обратим внимание на то, что визуальный образ A-листа ступенчатой модели появляется в визуальной памяти целиком, а затем мы считываем с этого образа конкретные цифры, основываясь на соглашениях стандарта Т-матрицы для устного счёта.

Похожий процесс в мышлении происходит, когда мы представляем карту гористой местности, а затем, прокладываем на ней маршрут к заданной точке.

Умножение. Цифровые правила[править | править исходный текст]

Правила для единиц, использующие поворот луча на Т-матрице[править | править исходный текст]

Обозначим буквой R функцию поворота на Т-матрице радиального луча на прямой угол по часовой стрелке. Девятилистник умножения демонстрирует геометрические цифровые законы для единиц.

Пусть A натуральное однозначное число. Тогда единицы

E (3 × A) = R (A), ........ E (9 × A) = R 2 (A), ......... E (7 × A) = R −1 (A).

Эти формулы являются цифровыми правилами единиц для умножения на 3, 9 и 7.

Два поворота дают дополнение R2 (A) = A*. Можно записать E (9 × A) = R2 (A) = A*.

Правила единиц, использующие поворот луча, являются универсальными для таблицы умножения.

Цифровое правило можно представить как геометрический алгоритм указания цифры единиц.

Геометрическое правило умножения на 3. Правило единиц 3xA = "правая рука с отставленным в сторону большим пальцем, указывающим на множитель A"

Правило единиц для умножения на 3 является правилом правой руки.

Допустим, мы находимся в центре Т-матрицы и смотрим на множитель A. Тогда цифра единиц E (3 × A) находится справа от нас.

Чтобы получить цифру единиц E (3 × A), нужно повернуть радиальный луч множителя A на Т-матрице на прямой угол по часовой стрелке.

Правило умножения на 3 удобно показывать правой рукой, отставив в сторону большой палец.

Кладём правую ладонь на центр Т-матрицы и поворачиваем руку так, чтобы большой палец показывал множитель A. (Если поворачивать руку не удобно, поверните листок с рисунком). Тогда остальные пальцы укажут цифру единиц E.

Правило единиц для умножения на 7 является правилом левой руки.

Допустим, мы находимся в центре Т-матрицы и смотрим на множитель A. Тогда цифра единиц E (7 × A) находится слева от нас.

Другие правила для единиц

Чтобы не перепутать соответствия того, какая рука относится к какой цифре, достаточно встать в центр Т-матрицы и повернуться лицом к цифре 1.

Тогда 3 будет видна справа, а цифра 7 окажется слева от начального луча зрения на цифру 1. Цифра 9 - позади нас.

Правила умножения на однозначное число (не 5). Правило единиц = "правая или левая ладонь руки, показывающая нужный уголок".

Пусть A является чётным числом. Тогда

E (6 × A) = A, ........ E (2 × A) = R −1 (A), ........ E (4 × A) = R 2 (A), ........ E (8 × A) = R (A).

Эти формулы являются цифровыми правилами единиц для чётных множителей, использующими поворот луча на Т-матрице.

Чтобы определить величину уголка для каждой чётной цифры, нужно на Т-матрице повернуться, глядя вдоль радиального луча числа 6.

Тогда 8 окажется справа (правая рука, показывающая прямой угол отставленным в сторону большим пальцем), 2 – слева (левая рука, показывающая прямой угол отставленным в сторону большим пальцем), а 4 – позади нас ("шпагат" из пальцев).

Правила для единиц, использующие молнии[править | править исходный текст]

Геометрические правила с молниями применяются на цифровых вертушках с пропеллером, на котором есть рисунок молнии (см. выше).

Решим пример A × B = [D; E] с помощью цифровой вертушки. (Далее исключаем случай A=5).

Берём цифровую вертушку с пропеллером, на котором изображена молния той же чётности, как и A.

Шаг 1. Устанавливаем фишку на узел U=B выбранной молнии.

Шаг 2. Поворачиваем пропеллер вместе с фишкой так, чтобы начальный узел молнии указал на число A. Теперь молния МA на пропеллере совпадёт с A-молнией на Т-матрице. Фишка указывает на Т-матрице цифру единиц E (A × B).

E ( A × B ) = МA ( B ).

Правила для единиц, использующие уголки[править | править исходный текст]

Решаем пример A × B = [D; E] геометрическим способом, используя две планки, образующие фиксированный угол.

Для цифровой вертушки на Т-матрице возьмём пропеллер, представляющий собой уголок.

Каждый уголок рассматривается как жёсткая фигура с двумя планками – (1) короткой и толстой, и (2) длинной и тонкой.

Величина угла выбирается в строгом соответствии с множителем A (см. рис.).

Вершина уголка надевается на ось в центре Т-матрицы. Поворачиваем уголок так, чтобы короткая планка указала на множитель B.

Тогда длинная планка укажет цифру единиц E произведения AxB.

Выбор с помощью Т-матрицы величины уголка для цифрового правила единиц E (A × B).

Цифровая вертушка с уголками похожа на часы с двумя стрелками. Отличие в том, что угол между стрелками на вертушке типа «часов умножения» не меняется, он зависит только от множителя A.

Решение примеров умножения на 3 показано на рисунке. Использован уголок, равный прямому углу.

Применение правила единиц 3 × A. Примеры 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 6 = 18.

У числа B=5, находящего в центре вращения, радиального луча не существует. Число B=5 указано центральной точкой, которая при поворотах остаётся на постоянном месте.

В геометрическом алгоритме применения уголков для нахождения единиц произведения нужно соблюдать условия, гарантирующие сохранение чётности.

Если A – нечётное число, не равное 5, то B – любое число Т-матрицы.

Если A – чётное число, тогда B – так же должно быть чётным числом.

Рекомендация. Решая пример A × B, на первое место нужно поставить нечётное число, если оно имеется в произведении.

Правила для десятков, использующее инверсию[править | править исходный текст]

Универсальное правило десятков. Десятки D(AxB) равны числу инверсий при движении по указателям A-молнии от начального узла до узла с номером B

D (A × B) = ~\sum_{C=1}^\mbox{B - 1} \mbox{ I ( c )}

где I (c) – функция инверсии, равная 1, если на указателе молнии между узлами (c, c+1) есть инверсия, и равная 0 в остальных случаях.

Инверсия на указателе B \rightarrow E имеется только тогда, когда B > E.

Правила для десятков, использующие границы десятков[править | править исходный текст]

На выбранном листе девятилистника умножения записаны произведения A×B=[D;Е]. В соответствии со структурным правилом девятилистника карточка примера A×B=[D;Е] размещается в ячейке E. Множество ячеек с одинаковыми цифрами десятков D произведения называются D-областью десятков.

Проведем между соседними ячейками с разными числами десятков D разграничительные линии – границы. Возможны кратные линии границы (двойные или тройные).

Линия A-молнии показывает последовательность чтения результатов A×1=[0; A], A×2=[D22], ..., A×B=[DB; ЕB].

Алгоритм расчёта десятков на Т-матрице по известным линиям границ десятков.

Для того чтобы узнать величину десятков D произведения A×B, нужно пройти на A-листе по указателям молнии от её начала до узла с номером B, и подсчитать число пересечений границ.

Нечётные листы 1, 3, 7, 9

На рисунке показаны границы десятков нечётных листов 1, 3, 7, 9.

Перемещаясь по A-молнии от её начала до нужного нам множителя B, нужно подсчитать встречающиеся границы.

Переход через границу десятков изменяет D на величину кратности границы.

Границы десятков на нечётных листах умножения 1, 3, 7, 9.

Лист 1 не имеет границ десятков, так как здесь все результаты 1 × A = A < 10 и D=0.

Лист 3 имеет вертикальные границы десятков, разделяющие столбцы Т-матрицы. Каждый шаг налево увеличивает десятки на 1.

В правом столбце десятки равны нулю, произведения 3 × 4 = 12, 3 × 5 = 15, 3 × 6 = 18 имеют десяток D = 1.

В левом столбце все произведения 3 × 7 = 21, 3 × 8 = 24, 3 × 9 = 27 имеют десяток D = 2.

Лист 7 отличается тем, что каждый шаг вверх увеличивает десяток на 1, и каждый шаг направо увеличивает десяток на 2. Поэтому горизонтальные границы - однократные, вертикальные границы между ячейками - двукратные.

Лист 9 замечателен тем, что все его примеры 9 × B = [D; Е] подчиняются правилу: десятки на единицу меньше множителя D = B - 1. На девятом листе вертикальные границы - однократные, горизонтальные границы - трехкратные.

Для того чтобы визуально запомнить расположение границ десятков, полезно иметь перед глазами ступенчатые модели каждого листа умножения.

Ступенчатая модель 3-го листа.
Ступенчатая модель 7-го листа.
Ступенчатая модель 9-го листа.

Чётные листы 2, 4, 6, 8

Границы десятков чётных листов умножения показаны для младших узлов {1, 2, 3, 4} чётной молнии U.

Границы десятков на чётных листах 2, 4, 6, 8. Изображены только младшие множители. .

Для старших узлов чётной молнии U из множества {6, 7, 8, 9} формат границы десятков повторяется.

На чётных листах последовательность чтения результатов задаёт соответствующая чётная молния.

Запоминающиеся визуальные образы показывают ступенчатые модели каждого чётного листа умножения.

Лист 2 состоит из двух частей. Младшая часть с примерами 2 × 1 = 2, 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 2 × 4 = 8, имеет цифры десятков D=0.

Старшая часть листа приподнята на один этаж вверх D=1.

На листе 4 переход через главную диагональ направо или вверх увеличивает величину десятков на 1. Заметим, что примеры 4 × 5 = 20, 4 × 6 = 24 и 4 × 7 = 28 находятся в одной зоне десятков D = 2.

Ступенчатая модель 2-го листа.
Ступенчатая модель 4-го листа.

Лист 6 похож на лист 3, но на нём используются только чётные ячейки. Каждый шаг налево по Т-матрице увеличивает десяток на 1. Нужно помнить, что примеры 6 × 5 = 30 и 6 × 6 = 36 находятся в одной зоне десятков D = 3.

На листе 8 каждый шаг по 8-ой молнии увеличивает десяток на 1, за исключением перехода от 8 × 5 = 40 до 8 × 6 = 48.

Ступенчатая модель 6-го листа.
Ступенчатая модель 8-го листа.

Варианты использования таблицы Пифагора в устном счёте[править | править исходный текст]

В настоящее время известно несколько отличающихся между собой концепций включения таблицы Пифагора в устные вычисления. В каждой из концепций присутствует  теоретическое обоснование, выдвигаются свои требования к человеку-вычислителю по владению некоторыми специальными стандартными навыками.

В каждой концепции применения таблицы Пифагора имеются ответы на следующие вопросы:

  * В каком объеме следует заучивать таблицу Пифагора,
  * На какую терминологию, и какие утверждения нужно опираться,
  * Какие цифровые правила следует изучать и применять, решая задачи умножения,
  * Какие геометрические схемы обязательны для применения в устном счёте,
  * В каком сочетании используются аудиомоторная память и визуальная память.

Дадим краткий обзор этих концепций.

  • На первое место поставим традиционный устный вербальный счёт, известный каждому школьнику, требующий заучивания словами всех результатов таблицы Пифагора от 1×1 до 10×10.

На самом деле, заучиваются лишь примеры от 2×2 до 9×9. (Умножение на 1 тривиально, а умножение на 10 - это приписывание нуля справа).

При каждой встрече с парой однозначных множителей нужно воспроизвести словесную фразу типа «семью восемь – пятьдесят шесть». Умножение многозначных чисел выполняется поразрядно в десятичной записи чисел (метод умножения «крестиком»). Комментарии к этой стандартной концепции излишни.

  • Линейная система цифровых правил (см. выше), известная со средних веков (и, есть гипотеза, со времен пифагорейцев), позволяющая преобразовать пример с однозначными множителями более 5 к дополнительным множителям менее 5.

Строго говоря, в этой системе счёта можно ограничиться заучиванием только младших произведений от 2×2 до 5×5. На практике эта рекомендация не соблюдается, ученики заучивают подряд все примеры до 9×9.

  • Система Я. Трахтенберга цифровых правил устного счёта предъявляет требования к человеку-вычислителю, чтобы он знал наизусть и применял для получения цифр десятков D и единиц E не только величины множителей A и B, но и их двойные значения 2A, пятикратные значения 5A и половинные значения A/2.

Предлагаются линейные формулы вычисления разрядов десятков и единиц. Младшие множители до 4×4 не охватываются эффективными правилами, поэтому должны заучиваться наизусть.

Сейчас система Я. Трахтенберга представляет лишь исторический интерес. Концепция наглядной арифметики В. Б. Творогова оказывается эффективнее системы Я. Трахтенберга по всем критериям сравнения.

  • Система цифровых правил наглядной арифметики, где используются геометрические алгоритмы, демонстрируемые на телефонной Т-матрице и числовой плоскости. Нужная цифра десятков D и единиц E произведения однозначных множителей A×B=[D;E] указывается как точка в некоторой конфигурации.

Алгоритмы наглядной арифметики строятся на основе стандарта Т-матрицы для устного счёта. Согласно этому стандарту, человек-вычислитель должен знать

(1) где находится каждая цифра на Т-матрице, указывая её радиальным лучом, и

(2) какая цифра находится в заданной ячейке Т-матрицы.

Из элементарных компонент строятся молнии Т-матрицы, показывающие порядок чтения результатов на A-листе умножения.

Цифровые правила для единиц и десятков позволяют указать числовые решения для всех примеров умножения таблицы Пифагора.

Геометрическая интерпретация арифметических действий удобна для технологии быстрого счёта, так как после указания точки на геометрической схеме уже не требуется называть числа словами, поэтому время вычислений сокращается.

Применение[править | править исходный текст]

Помимо широко известного применения классической таблицы умножения для выработки практических навыков умножения натуральных чисел, её можно использовать в некоторых математических доказательствах, например, при выводе формулы суммы кубов натуральных чисел или получении подобного выражения для суммы квадратов[6].

Таблица Кэли[править | править исходный текст]

Таблица Кэли — в общей алгебре, таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли. Имеет важное значение в дискретной математике, в частности, в теории групп, в которой в качестве операций рассматриваются умножение и сложение. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти центр группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

В высшей алгебре таблицы Кэли могут также использоваться для определения бинарных операций в полях, кольцах и других алгебраических структурах. Также они удобны при проведении действий в данных структурах.

Модулярная арифметика[править | править исходный текст]

Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число — поле. Это иллюстрируется таблицами умножения:

Таблица умножения в кольце вычетов по модулю 8

× 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 0 2 4 6
3 0 3 6 1 4 7 2 5
4 0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 5 2 7 4 1 6 3
6 0 6 4 2 0 6 4 2
7 0 7 6 5 4 3 2 1

Таблица умножения в поле вычетов по модулю 5

× 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Children must learn times tables by age nine… // Daily Mail, 17.12.2011
  2. Творогов В. Б. Как пифагорейцы учили таблицу умножения. // Проблемы управления качеством образования: сборник статей VIII Всероссийской научно- практической конференции / МНИЦ ПГСХА. – Пенза: ПГСХА, 2013 г.
  3. Творогов В.Б. Патент РФ N 2139575, 1999 г. Способ обучения и модель таблицы умножения/деления на основе девяти матриц - девятилистника...
  4. Творогов В. Б. Патент РФ №2139574, 1999 г., Вращающаяся таблица умножения...
  5. Творогов В. Б. Наглядная арифметика и технология быстрого счёта. - М.: Либроком, 2011. - 208 с.
  6. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—72.

Ссылки[править | править исходный текст]