Таблица производных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производные простых функций[править | править исходный текст]

  • {d \over dx} c = 0
  • {d \over dx} x = 1
  • {d \over dx} cx = c
  • {d \over dx} x^c = cx^{c-1},        когда x^c\,\! и cx^{c-1}\,\! определены, c \ne 0
  • {d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0
  • {d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
  • {d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
  • {d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0
  • {d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{1-n\over n} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}}

Производные экспоненциальных и логарифмических функций[править | править исходный текст]

  • {d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0
  • {d \over dx} e^x = e^x
  • {d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}
  • {d \over dx} \ln x = {1 \over x}
  • {d \over dx} \log_a x = \frac{log_a e} {x}
  • \frac{d}{dx} \log_a f(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln f(x)}{\ln(a)} = \frac{ 1 }{ f(x) \ln(a)}.

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций[править | править исходный текст]

  • {d \over dx} \sin x = \cos x
  • {d \over dx} \cos x  = -\sin x
  • {d \over dx}\,\operatorname{tg}\,x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x + 1
  • {d \over dx}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{cosec}^2\,x = { -1 \over \sin^2 x}
  • {d \over dx} \sec x =\,\operatorname{tg}\,x \sec x
  • {d \over dx} \,\operatorname{cosec}\,x = -\,\operatorname{ctg}\,x \,\operatorname{cosec}\,x
  • {d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
  • {d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
  • {d \over dx} \,\operatorname{arctg}\,x = { 1 \over 1 + x^2}
  • {d \over dx} \,\operatorname{arcctg}\,x = {-1 \over 1 + x^2}
  • {d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
  • {d \over dx} \,\operatorname{arccosec}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

Производные гиперболических функций[править | править исходный текст]

{d \over dx}\,\operatorname{sh}\,x = \,\operatorname{ch}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{ch}\,x = \,\operatorname{sh}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{th}\,x = \,\operatorname{sech}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \operatorname{th} x\,\operatorname{sech}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{cth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{cth}\,x\,\operatorname{csch}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{arsh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arch}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}, при |x|<1
{d \over dx}\,\operatorname{arsech}\,x = { - 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx}\,\operatorname{arcth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}, при |x|>1
{d \over dx}\,\operatorname{arcsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}

Правила дифференцирования общих функций[править | править исходный текст]

\left({cf}\right)' = cf'
\left({f + g}\right)' = f' + g'
\left({f - g}\right)' = f' - g'
\left({fg}\right)' = f'g + fg' (частный случай формулы Лейбница)
\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0
(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0
(f (g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x) — Правило дифференцирования сложной функции
f' = (\ln f)'f, \qquad f > 0
(f^c)' = c\left(f^{c-1}\right)f'

См. также[править | править исходный текст]