Тангенциальное ускорение

Разложение ускорения $\mathbf {a} (t)$ на тангенциальное $\mathbf {a} _{\tau }$ и нормальное $\mathbf {a} _{n}$ ($\mathbf {\tau }$ — единичный касательный вектор)

Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости, в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости.

Определяется как производная модуля скорости по времени, умноженная на единичный вектор $\tau$ вдоль скорости. Обозначается символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса тангенциальной компоненты: $\mathbf {a} _{\tau }$ или $\mathbf {a} _{t}$, $\mathbf {w} _{\tau }$, $\mathbf {u} _{\tau }$. Измеряется в м/с² (в системе СИ).

Величина $a_{\tau }$ равна проекции полного ускорения $\mathbf {a}$ на касательную в данной точке кривой, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Общая формула

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

$a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d\vert {\vec {v}}\vert }{dt}}$,

где $v\ =dl/dt$ — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение $\mathbf {\tau }$, то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

$\mathbf {a} _{\tau }={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau }$.

Тангенциальное ускорение $\mathbf {a} _{\tau }$ параллельно вектору скорости $\mathbf {v}$ при ускоренном движении (положительная производная) и антипараллельно при замедленном (отрицательная производная).

Происхождение формулы

Разложение полного ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты осуществляется посредством дифференцирования по времени вектора скорости, представленного в виде $\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$ через единичный вектор касательной $\mathbf {\tau }$:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt}}={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } +{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n}$.

Первое слагаемое — тангенциальное ускорение $\mathbf {a_{\tau }}$, а второе — нормальное ускорение $\mathbf {a_{n}}$ ($R$ и $\mathbf {n}$ — радиус кривизны и единичный вектор нормали к траектории в рассматриваемой точке).

Некоторые примеры

Пример 1

Скорость камня, сброшенного с высоты с начальной скоростью $v_{0}$, направленной горизонтально, до падения на землю будет изменяться как ${\vec {v}}=v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}$, где $g$ — ускорение свободного падения. Модуль скорости составит $v={\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}$, а значит, тангенциальное ускорение по величине равняется $a_{\tau }=dv/dt=g^{2}t/{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}$. В начальный момент оно равно нулю, а при больших $t$ стремится к $g$. Можно записать тангенциальное ускорение и как вектор:

${\vec {a}}_{\tau }=a_{\tau }\,{\vec {\tau }}=a_{\tau }\cdot {\frac {\vec {v}}{v}}=a_{\tau }\cdot {\frac {v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}}{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}={\frac {v_{0}g^{2}t}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}\,{\vec {i}}-{\frac {g^{3}t^{2}}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}\,{\vec {j}}$.

В этих выражениях ${\vec {i}}$, ${\vec {j}}$ — единичные векторы в декартовых координатах.

Пример 2

Пусть радиус-вектор тела зависит от времени по закону ${\vec {r}}=r_{0}\sin(\omega t){\vec {i}}+r_{0}\cos(\omega t){\vec {j}}$.

В таком случае скорость тела найдётся как ${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt=r_{0}\omega \cos(\omega t){\vec {i}}-r_{0}\omega \sin(\omega t){\vec {j}}$. Соответственно, её модуль равен $v={\sqrt {r_{0}^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}(\omega t)+r_{0}^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}(\omega t)}}=r_{0}\omega$ и является постоянной величиной. В результате получается, что тангенциальное ускорение — ноль:

$a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d(r_{0}\omega )}{dt}}=0$.

Рассмотренная зависимость ${\vec {r}}(t)$ описывает равномерное движение по окружности радиусом $r_{0}$.

Равнопеременность

Движение тела с постоянным по величине тангенциальным ускорением называется равнопеременным. Слова «равнопеременное» ($a_{\tau }=\,$const) и «равноускоренное» (${\vec {a}}=\,$const) не синонимичны. Взаимозаменяемыми данные термины становятся только применительно к прямолинейному движению. Тем не менее возможны определённые аналогии при рассмотрении обоих названных типов движения.