Тангенциальнозначная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

Определение[править | править исходный текст]

Тангенциальнозначной формой на многообразии M называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

\omega\colon M \to \left(\wedge^k T^*M\right) \otimes_{M} TM
\pi \circ \omega = \imath d

Операции[править | править исходный текст]

  • Внутреннее дифференицрование
  • Внешнее дифференцирование

Производная Ли[править | править исходный текст]

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля T по векторному полю X определяется стандартным образом:

L_X T = \frac{d}{dt} g^t T

где g^t — фазовый поток, соответствующий векторному полю X. Эта операция связана с внутренним умножением \imath_X дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

L_X = \imath_X d + d \imath_X

то есть

L_X = [\imath_X, d]

где [\cdot,\cdot] — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы K производная Ли определяется по аналогии:

L_K = [\imath_K, d]
Свойства
  • [L_K, d] = 0

F-N скобки[править | править исходный текст]

Скобки Frölicher-Nijenhuis (F-N скобки) [\cdot,\cdot] двух тангенциальнозначных форм K и F определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма [K,F], для которой

[L_K, L_F] = L([K,F])

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби.

N-R скобки[править | править исходный текст]

Скобки Nijenhuis-Richardson (N-R скобки, алгебраические скобки) [\cdot,\cdot]^\wedge двух тангенциальнозначных форм K и F определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма [K,F]^\wedge, для которой

[\imath_K, \imath_F] = \imath([K,F]^\wedge)

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм K \in \Omega^{k+1}(M,TM), F \in \Omega^{f+1}(M,TM):

[K, F]^\wedge = \imath_k F - (-1)^{k f} \imath_F K

Связанные определения[править | править исходный текст]

Форма называется припаивающей, если она лежит в T^*M \otimes TM.

Литература[править | править исходный текст]