Телескопический признак

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Телескопический признак — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть для членов f(n) ряда выполняется:

  1. последовательность \{f(n)\} монотонно убывает
  2. f(n)\geqslant 0 \quad \forall n\in\mathbb{N} — члены неотрицательны

Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty f(n) сходится или расходится одновременно с рядом \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}).

Обобщение[править | править вики-текст]

Оскар Шлёмильх сформулировал следующее обобщение[1] телескопического признака.

Пусть:

  1. \{f(n)\} — монотонно убывающая последовательность (члены ряда)
  2. f(n)\geqslant 0 \quad \forall n\in\mathbb{N} — последовательность неотрицательна
  3. \{u_n\} — некоторая строго возрастающая последовательность
  4. u_n\in \mathbb{N} (а значит, u_n>0) \forall n
  5. последовательность \{r_n\}=\left\{\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n-u_{n-1}}\right\} ограничена

Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty f(n) сходится или расходится, одновременно с рядом \sum_{n=1}^{\infty} (u_{n+1}-u_n) f(u_n).

Например, если рассматривать последовательность u_n= c^n, которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном c\in\mathbb{N}\setminus\{1\}, то согласно указанной теореме ряд \sum_{n=1}^\infty f(n) сходится или расходится одновременно с рядом (c-1)\sum_{n=1}^\infty c^n f(c^n), а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд \sum_{n=1}^\infty f(n) сходится или расходится одновременно с рядом \sum_{n=1}^\infty c^n f(c^n) при любой выбранной константе c\in\mathbb{N},\; c\neq 1.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Bonar, Khoury, 2006, теорема 2.4 с доказательством

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Weisstein, Eric W. Cauchy Condensation Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • D. D. Bonar and M. Khoury, Jr. More Sophisticated Techniques // Real Infinite Series. — Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. — С. 43-45. — 264 с. — ISBN 0-88385-745-6.