Тензорная алгебра

Тензорной алгеброй линейного пространства $V$ (обозначается $T(V)$) называется алгебра тензоров любого ранга над $V$ с операцией тензорного умножения.

Также тензорной алгеброй называется соответствующий раздел линейной алгебры (то есть раздел, занимающийся тензорами, определёнными над одним линейным пространством, в отличие от тензорного анализа, занимающегося тензорными полями, заданными на касательном расслоении многообразия и дифференциальными соотношениями для этих полей).

Определение

Пусть V — векторное пространство над полем K. Для любого натурального числа k определим k-ую тензорную степень V как тензорное произведение V на себя k раз:

$T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V$

Таким образом, T^kV состоит из всех тензоров над V ранга k. Будем считать, что T⁰V — это основное поле K (одномерное векторное пространство над собой).

Определим T(V) как прямую сумму T^kV для всех k = 0,1,2,…

$T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots$

Умножение в T(V) определяется задаваемым тензорным произведением каноническим изоморфизмом:

$T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V$

который потом продолжается по линейности на всю T(V). Такое умножение превращает тензорную алгебру T(V) в градуированную алгебру.

Функториальность

Тензорная алгебра T(V) — это свободная алгебра векторного пространства V. Тензорная алгебра является наиболее общей алгеброй пространства V, то есть любое линейное отображение $f: V\to A$ пространства V в алгебру A над K может быть продолжено единственным образом до гомоморфизма $\bar f: T(V) \to A$. Это утверждение выражается коммутативной диаграммой:

где i — каноническое вложение V в T(V). Тензорную алгебру можно определить как единственную (с точностью до изоморфизма) алгебру, обладающую таким свойством, хотя необходимо ещё явно показать, что такая алгебра существует.

Таким образом, тензорная алгебра функториальна, то есть T — это функтор из категории K-Vect векторных пространств над K в категорию K-Alg K-алгебр.

Некоммутативные многочлены

Если размерность V конечна и равна n, то тензорную алгебру можно рассматривать как алгебру многочленов над K с n некоммутативными переменными. Базисным векторам V соответствуют некоммутативные переменные, причем их умножение будет ассоциативным, дистрибутивным и K-линейным.

Заметим, что алгебра многочленов над V — это не $T(V)$, а $T(V^*)$: однородная линейная функция на V является элементом сопряженного пространства $V^*$.

Факторалгебры

В силу общности тензорной алгебры многие другие важные алгебры пространства V можно получить, накладывая определенные ограничения на образующие элементы тензорной алгебры, то есть строя факторалгебры от T(V). Например, так можно построить внешнюю алгебру, симметрическую алгебру и алгебру Клиффорда.

Вариации и обобщения

Конструкция тензорной алгебры над линейным пространством естественно обобщается до тензорной алгебры над модулем M над коммутативным кольцом. Если R — некоммутативное кольцо, можно построить тензорное произведение для любых R-бимодулей над M. Для обычных R-модулей оказывается невозможным построить кратное тензорное произведение.

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс» — 2002, ISBN 5-88688-060-7

См. также

• Алгебра Клиффорда
• Внешняя алгебра
• Симметрическая алгебра