Тензорное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.

Определение[править | править исходный текст]

Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.

Определение через понятие структуры на многообразии[править | править исходный текст]

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:

Пусть V=\R^n, V^*=\mathrm{Hom}\,(V,\;\R) и V^p_q=((\overset{p}{\otimes}V))\otimes((\overset{q}{\otimes} V^*)) — пространство тензоров типа (p,\;q) с естественным тензорным представлением группы GL^1(n)=GL(n), тогда структура типа V^p_q является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа (p,\;q).

Определение через понятие тензорного расслоения[править | править исходный текст]

При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения T^{p,\;q}(M) на дифференцируемом многообразии M, изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

T^{p,\;q}(M)\cong\overset{p}{\otimes}T(M)\otimes\overset{q}{\otimes}T(M)^*.

Нестрогое определение[править | править исходный текст]

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия M ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

Область применения[править | править исходный текст]

Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.

Расширенное тензорное поле[править | править исходный текст]

Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.

Нестрогое определение[править | править исходный текст]

Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке \displaystyle x многообразия \displaystyle M некоторый тензор фиксированной валентности \displaystyle (p,q), отнесенный к этой точке \displaystyle x. Пусть теперь \displaystyle\tilde M — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над \displaystyle M, и пусть \displaystyle\pi:\tilde M\to M — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке \displaystyle y многообразия \displaystyle\tilde M некоторый тензор фиксированной валентности \displaystyle (p,q) на \displaystyle\tilde M, отнесенный к точке \displaystyle x=\pi(y).

Литература[править | править исходный текст]