Тензорное расслоение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тензорное расслоение типа (p,\;q) на дифференцируемом многообразии M — векторное расслоение T^{p,\;q}(M) над M, ассоциированное с расслоением касательных реперов и имеющее в качестве стандартного слоя пространство T^{p,\;q}(\R^n) тензоров типа (p,\;q) на \R^n, в котором группа GL(n,\;\R) действует при помощи тензорного представления. Например, T^{1,\;0}(M) совпадает с касательным расслоением T(M) над M, a T^{0,\;1}(M) — с кокасательным расслоением T(M)^*.

В общем случае тензорное расслоение изоморфно тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений:

T^{p,\;q}(M)\cong\overset{p}{\bigotimes}\,T(M)\,\bigotimes\,\overset{q}{\bigotimes}\,T(M)^*.

Сами расслоения являются лишь основой для построения сечений тензорных расслоений типа (p,\;q), которые называются тензорными полями типа (p,\; q) и являются основным объектом исследования дифференциальной геометрии. Так, например, риманова структура на M — это гладкое сечение расслоения T^{0,\;2}(M), значения которого являются положительно определёнными симметрическими формами.

Гладкие сечения расслоения T^{p,\;q}(M) образуют модуль D^{p,\;q}(M) над алгеброй F^\infty(M)=D^{0,\;0}(M) гладких функций на M. Если M — паракомпактное многообразие, то

D^{p,\;q}(M)\cong\overset{p}{\bigotimes}\,D^1(M)\,\bigotimes\,\overset{q}{\bigotimes}\,D^1(M)^*,

где D^1(M)=D^{1,\;0}(M) — модуль гладких векторных полей, D^1(M)^*=D^{0,\;1}(M) — модуль пфаффовых дифференциальных форм, а тензорные произведения берутся над F^\infty(M).

В классической дифференциальной геометрии тензорные поля иногда называют просто тензорами на M.

Литература[править | править вики-текст]

  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Новокузнецкий физико-математический институт, 1999. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0..
  • Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. — М.: Факториал Пресс, 2005. — 608 с. — (XX век. Математика и механика). — ISBN 5-88688-076-3..