Тензорный анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей D(M) дифференцируемого многообразия M. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т. д.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры D(M).

1) Ковариантная производная вдоль векторного поля X — линейное отображение \nabla_X пространства векторных полей D^1(M) многообразия M, зависящее от векторного поля X и удовлетворяющее условиям:

\nabla_fX+{}_{gV}Z=f\nabla_XZ,
\nabla_X(fZ)=f\nabla_XZ+(Xf)Y,

где X, Y, Z\in D'(M), f, g — гладкие функции на M. Определяемые этим оператором связность \Gamma и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры D(M) в себя; при этом отображение \nabla X есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со свёрткой.

В локальных координатах u^1,\;u^2,\;\ldots,\;u^n ковариантная производная тензора с компонентами T\left(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}}\right) относительно вектора X=\xi^i\frac{\partial}{\partial u^i} определяется как:

\nabla_XT=\xi^s\left(\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots m}}{\partial u^s}+\Gamma^{i_1}_{k_s}T^{k\ldots i_l}_{j_1 \ldots j_m}+\ldots-\Gamma^k_{j_{i,s}}T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}\right),
\Gamma^i_{ks} — объект связности \Gamma.

2) Производная Ли вдоль векторного поля X — отображение L_X пространства D'(M), определяемое формулой L_X:Y\to[X,\;Y], где [X,\;Y] — коммутатор векторных полей X, Y. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования D(M), сохраняет тип тензоров и перестановочен со свёрткой. В локальных координатах производная Ли тензора T\left(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}}\right) выражается так:

L_X T=\xi^k\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots j_m}}{\partial u^k}+T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}\frac{\partial\xi^k}{\partial u^i}+\ldots-T^{k\ldots i_l}_{j_1\ldots j_m}\frac{\partial\xi^{i_1}}{\partial u^k}-\ldots

3) Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор d, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени p форму такого же вида и степени p+1, удовлетворяющий условиям:

d(\omega_1\wedge\omega_2)=d\omega_1\wedge\omega_2+(-1)^r\omega_1\wedge d\omega_2,\quad d(d\omega)=0,

где \wedge — символ внешнего произведения, r — степень \omega_1. В локальных координатах внешняя производная тензора \omega\langle\omega_{i_1\ldots i_p}\rangle выражается так:

d\omega=\sum_{n=0}^\infty(-1)^k\frac{\partial\omega_{i_1\ldots\hat i_k\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_k}}.

Оператор d — обобщение оператора \mathrm{rot}.

4) Тензор кривизны симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора g_{if} представляет собой действие некоторого нелинейного оператора R:

g_{if}\to R^s_{mlk}=\frac{\partial\Gamma^s_{km}}{\partial u^l}-\frac{\partial\Gamma^s_{kl}}{\partial u^m}+\sum_p(\Gamma^s_{lp}\Gamma^p_{km}-\Gamma^s_{mp}\Gamma^p_{kl}),

где

\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{is}\left(\frac{\partial g_{js}}{\partial u^k}+\frac{\partial g_{ks}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^s}\right).

Ссылки[править | править исходный текст]