Тензор Эйнштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Те́нзор Эйнште́йна (G_{\mu\nu}\,) — тензорная величина, представляющая собой вариационную производную скалярной кривизны связности Леви-Чивиты по метрическому тензору. В этом качестве стоит в левой части уравнения Эйнштейна. Тензор Эйнштейна — симметричный тензор второго ранга в n-мерном пространстве, то есть содержит n(n+1)/2 независимых компонентов, представляющих собой сложные комбинации компонент метрического тензора и его первых и вторых производных.

Тензор Эйнштейна равен разности тензора Риччи R_{\mu\nu}\, и половины метрического тензора g_{\mu\nu}\,, умноженного на скалярную кривизну R \,:

G_{\mu\nu} \, = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \, g_{\mu\nu} \, R.

Домножив обе части этого равенства на g^{\mu\nu}\, и произведя свёртку, находим след тензора Эйнштейна:

\operatorname{Sp} \, G_{\mu\nu} \, = \frac{2 \, - n}{2} \, R.

При этом в частном случае четырёхмерного пространства:

\operatorname{Sp} \, G_{\mu\nu} \, = - \, R.

Ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна тождественно равна нулю

G^\mu_{\nu;\mu} \equiv 0,

что служит обоснованием его использования в левой части уравнения Эйнштейна, так как такое же свойство выполняется для тензора энергии-импульса.