Тензор напряжений

Те́нзор напряже́ний — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.

Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой σ обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой τ.

Компоненты тензора напряжений $\sigma_{ij}$ в декартовой системе координат $Ox_i$ (т.е. $Oxyz$) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади $dS_{i}$. На каждой грани $dS_{i}$ параллелепипеда действуют поверхностные силы $dF_{i}$. Если обозначить проекции этих сил на оси $Ox_{j}$ как $dF_{ij}$, то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:

$\sigma_{ij} = \frac{ d F_{ij}}{dS_{i}}$

По индексу $i$ здесь суммирования нет. Компоненты $\sigma_{11}$, $\sigma_{22}$,$\sigma_{33}$, обозначаемые также как $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$,$\sigma_{zz}$ — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы $dF_{i}$ на нормаль к площади рассматриваемой грани $dS_{i}$:

$\sigma_{11} = \frac{ d F_{11}}{dS_{1}}$ и т.д.

Компоненты $\sigma_{12}$, $\sigma_{23}$,$\sigma_{31}$, обозначаемые также как $\tau_{xy}$, $\tau_{yz}$,$\tau_{zx}$ — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы $dF_{i}$ на касательные направления к площади рассматриваемой грани $dS_{i}$:

$\sigma_{12} = \frac{ d F_{12}}{dS_{1}}$ и т.д.

При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объемных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса. В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.

Тензор напряжений в релятивистский физике

С точки зрения теории относительности, компоненты тензора напряжений являются девятью пространственными компонентами тензора энергии-импульса.

Тензор напряжений в классической электродинамике

В классической электродинамике тензор напряжений электромагнитного поля в СИ имеет вид:

$T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}W$

где $W$ — плотность энергии электромагнитного поля.

См. также

• Тензор энергии-импульса
• Теория упругости
• Тензор деформации
• Тензор упругости
• Закон Гука

Литература

• Седов Л. И.  Механика сплошной среды. Том 1.  М.: Наука, 1970.  492 c.
• Трусделл К.  Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.  М.: Наука, 1975.  592 с.
• Димитриенко Ю. И.  Нелинейная механика сплошной среды.  М.: Физматлит, 2010.