Теорема Абеля — Руффини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени n при n \ge 5 неразрешимо в радикалах.

Подробности[править | править исходный текст]

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы состоит из доказательства двух фактов.

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение n-ной степени при n \ge 5 не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвертой невозможно указать замкнутую формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени. Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью используя численные методы, например метод Ньютона. Кроме того, для некоторых уравнений высших степеней существуют закрытые формулы, однако они не действительны для всех уравнений данной степени. Например, уравнение x^5-5x^4-10x^3-10x^2-5x-1=0 имеет корень x=1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{16}.

Замкнутые формулы для степеней меньше пятой[править | править исходный текст]

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать закрытую формулу решения. Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой).

История[править | править исходный текст]

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем. Немногим позже развившаяся теория Галуа позволила сформулировать современное изложение доказательства.

Разрешимые типы уравнений[править | править исходный текст]

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]