Теорема Банаха о неподвижной точке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Теорема Банаха о неподвижной точке гарантирует наличие и единственность неподвижной точки у некоторых отображений метрических пространств. Также она содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего её в 1922 году.

[править] Теорема

Пусть $(\mathbb{X},d)$ — непустое полное метрическое пространство. Пусть $T\colon\mathbb{X} \mapsto \mathbb{X}$ — сжимающее отображение на $\mathbb{X}$ , то есть существует число $0 \leqslant \alpha <1$ такое, что

$d(Tx,Ty) \leqslant \alpha d(x,y)$

для всех $\mathbb{}x,y$ из $\mathbb{X}$ . Тогда у отображения $\mathbb{}T$ существует, и притом ровно одна неподвижная точка $\mathbb{}x^*$ из $\mathbb{X}$ (неподвижная означает $\mathbb{}Tx^*=x^*$ ).

Число $α$ часто называют коэффициентом сжатия.

Если число $α$ равно 1, то есть отображение не сжимаюшее, теорема может не выполняться.

[править] Доказательство

Возьмём $\forall{x\in\mathbb{X}}$ и рассмотрим последовательность $x_1=Tx,x_2=Tx_1,\dots,x_{n+1}=Tx_n$ . Получаем ${x n}$ . Покажем, что эта последовательность фундаментальная. В самом деле:

$d(x_1,x_2)=d(Tx,Tx_1)\leqslant\alpha d(x,x_1)=\alpha d(x,Tx),$

$d(x_2,x_3)=d(Tx_1,Tx_2)\leqslant\alpha d(x_1,x_2)={\alpha}^{2} d(x,Tx),$

$\dots,$

$d(x_n,x_{n+1})=d(Tx_{n-1},Tx_n)\leqslant\alpha d(x_{n-1},x_n)={\alpha}^{n} d(x,Tx)$ .

Таким образом, по неравенству треугольника для

$\forall n,p \in\N \quad d(x_n,x_{n+p}) \leqslant d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+p}) \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+d(x_{n+2},x_{n+p}) \leqslant \dots$

$\dots \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+ \dots + d(x_{n+p-1},x_{n+p})\leqslant$

$\leqslant {\alpha}^{n}d(x,Tx) + {\alpha}^{n+1}d(x,Tx) + \dots + {\alpha}^{n+p-1}d(x,Tx) = ({\alpha}^{n}+{\alpha}^{n+1}+\dots+{\alpha}^{n+p-1})d(x,Tx) \leqslant\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx)$ .

Но $\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \to 0$ при $n \to \infty$ , значит для $\varepsilon > 0 \quad\exists N\colon\forall n \geqslant N \to \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} < \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1}$ .

Таким образом, для $\varepsilon > 0 \quad \exists N\colon\forall n > N, \forall p \in\N\colon d(x_n,x_{n+p}) \leqslant \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) < \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1}d(x,Tx) < \varepsilon$ .

Значит $\mathbb{}\{x_n\}$ фундаментальна. Но т.к. $\mathbb{X}$ полно, то $\exists x_* \in \mathbb{X}\colon\lim_{n \to \infty}x_n = x^*$ . Тогда берём $x n + 1 = T x n$ и переходим к пределу, т.к. сжимающий оператор — непрерывная функция. Существование доказано.

Докажем единственность. Предположим обратное, т.е. пусть $\exists y^* \in \mathbb{X}\colon y^*=Ty^* \Rightarrow d(x^*,y^*) =$ (т.к. $x *$ и $y *$ - неподвижные точки) $d(Tx^*,Ty^*) \leqslant\alpha d(x^*,y^*) \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant \alpha d(x^*,y^*) \Rightarrow (1-\alpha)d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow x^*=y^*$ .

Теорема доказана.

[править] Применение

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов уравнений. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

Теорема Банаха о неподвижной точке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Теорема

[править] Доказательство

[править] Применение

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках