Теорема Банаха о неподвижной точке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

Теорема[править | править вики-текст]

Пусть (\mathbb{X},d) — непустое полное метрическое пространство. Пусть T\colon\mathbb{X} \mapsto \mathbb{X} — сжимающее отображение на \mathbb{X}, то есть существует число 0 \leqslant \alpha <1 такое, что

d(Tx,Ty) \leqslant \alpha d(x,y)

для всех \mathbb{}x,y из \mathbb{X}. Тогда у отображения \mathbb{}T существует, и притом ровно одна, неподвижная точка \mathbb{}x^* из \mathbb{X} (неподвижная означает \mathbb{}Tx^*=x^*).

Число \alpha часто называют коэффициентом сжатия.

Если число \alpha равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

Доказательство[править | править вики-текст]

Возьмём произвольный фиксированный элемент метрического пространства {x\in\mathbb{X}} и рассмотрим последовательность x_1 =Tx, x_2 = Tx_1, \dots, x_{n+1} = Tx_n.

Таким образом получим последовательность \{ x_{n} \}.

Покажем, что эта последовательность фундаментальная. В самом деле:

d(x_1, x_2) = d(Tx, Tx_1) \leqslant \alpha d(x, x_1) = \alpha d(x,Tx),
d(x_2, x_3)=d(Tx_1, Tx_2) \leqslant \alpha d(x_1, x_2) \leqslant {\alpha}^{2} d(x,Tx),
\dots,
d(x_n, x_{n+1}) \leqslant\ {\alpha}^{n} d(x,Tx).

По неравенству треугольника для d(x_{n}, x_{n+p}) \leqslant d(x_{n}, x_{n+1}) + d(x_{n+1},x_{n+2}) + ... + d(x_{n+p-1}, x_{n+p}) \leqslant {\alpha}^{n}(1+{\alpha} + ... + {\alpha}^{p-1})d(x, Tx) = \frac{{\alpha}^{n}-{\alpha}^{n+p}}{1-{\alpha}}d(x, Tx)

Так как по условию 0 < \alpha < 1, то d(x_n, x_{n+p}) < \frac{{\alpha}^{n}}{1-{\alpha}}d(x, Tx). Отсюда следует, что d(x_n, x_{n+p}) \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty и любом p>0.

Значит, последовательность \mathcal{f} x_{n} \mathcal{g} сходится в себе (фундаментальная).

В силу полноты пространства \mathbb{X} существует элемент x_0 \in \mathbb{X}, являющийся пределом этой последовательности x_0=\lim_{n \rightarrow \infty} x_n.

Докажем, что Tx_0 = x_0.

По неравенству треугольника, d(x_0, Tx_0)  \leqslant d(x_0, x_n) + d(x_n, Tx_0) = d(x_0, x_n) + d(Tx_{n-1}, Tx_0) \leqslant d(x_0, x_n) + \alpha d(x_{n-1}, x_0). Так как x_0=\lim_{n \rightarrow \infty} x_n, то для любого \epsilon > 0 при достаточно большом n d(x_0, x_n) < \frac{\epsilon}{2} и d(x_0, x_{n-1}) < \frac{\epsilon}{2}. Так как \epsilon > 0 произвольно, то отсюда следует, что d(x_0, Tx_0) = 0, то есть x_0=Tx_0, что и требовалось доказать.

Докажем единственность неподвижной точки у оператора сжатия. Предположим, что существуют два различных элемента x_0, y_0 \in \mathbb{X}, такие, что Tx_0=x_0, Ty_0=y_0. Тогда d(x_0, y_0)=d(Tx_0, Ty_0) \leqslant \alpha d(x_0, y_0). Если допустить, что d(x_0, y_0) > 0, то из предыдущего следует, что \alpha \geqslant 1. Но это противоречит условию \alpha < 1. Таким образом, наше допущение что d(x_0, y_0) > 0 неверно и x_0=y_0.

Применение[править | править вики-текст]

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существоания и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

Литература[править | править вики-текст]

  • Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975