Теорема Больцано — Вейерштрасса

Теоре́ма Больца́но — Вейерштра́сса гласит, что

Из любой ограниченной последовательности вещественных чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую последовательность, т.е. последовательность, имеющую своим пределом бесконечность определённого знака.

Иначе говоря, замкнутое множество числовой прямой компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено.

Из этой теоремы, следуют аналогичные утверждения для комплексных чисел и для последовательностей точек $n$ -мерного евклидова пространства.

[править] Доказательство

Ниже приведён набросок доказательства методом Больцано или методом деления пополам:

Так как последовательность ограничена, то существует отрезок, содержащий все $x n$ .
Разделим его пополам. Выберем один, который содержит бесконечное число членов последовательности. (Если оба содержат бесконечное число членов последовательности, то выберем любой из них.)
Продолжим деление отрезков по индукции.
Получим последовательность вложенных отрезков $[a n; b n]$ , при этом последовательность $a n$ неубывающая, а последовательность $b n$ невозрастающая; значит обе имеют предел и по построению эти пределы равны скажем числу $s$ .
Далее построим подпоследовательность, чтобы $n$ -й элемент содержался в отрезке определённом на $n$ -ом шаге. Так как в любом таком отрезке содержится бесконечное число $x n$ , это возможно.
Полученная подпоследовательность имеет $s$ своим пределом (см. лемма о двух милиционерах).