Теорема Больцано — Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства \mathbb{R}^n можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности (n=1), входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса, которые независимо друг от друга её сформулировали и доказали.

Формулировки[править | править вики-текст]

Известно несколько формулировок теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Первая формулировка[править | править вики-текст]

Пусть предложена последовательность точек пространства \mathbb{R}^n:


x_1, x_2, \ldots

и пусть эта последовательность ограничена, то есть


\| x_k \| \leqslant C, \; k = 1, 2, \ldots

где C > 0 — некоторое число.

Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность


x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

которая сходится к некоторой точке пространства \mathbb{R}^n.

Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.

Расширенный вариант первой формулировки[править | править вики-текст]

Нередко теорему Больцано — Вейерштрасса дополняют следующим предложением.

Если последовательность точек пространства \mathbb{R}^n неограничена, то из неё можно выделить подпоследовательность, имеющую предел \infty.

Для случая n=1 эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определенного знака (+\infty или  -\infty).

Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенном множестве действительных чисел \overline{\mathbb{R}}.

Вторая формулировка[править | править вики-текст]

Следующее предложение является альтернативной формулировкой теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Всякое ограниченное бесконечное подмножество E пространства  \mathbb{R}^n имеет по крайней мере одну предельную точку в  \mathbb{R}^n .

Более подробно, это означает, что существует точка  x_0 \in \mathbb{R}^n , всякая окрестность  U_{\varepsilon}(x_0) которой содержит бесконечное число точек множества  E .

Доказательство[править | править вики-текст]

Теорема Больцано — Вейерштрасса выводится из свойства полноты множества действительных чисел. В наиболее известном варианте доказательства используется свойство полноты в форме принципа вложенных отрезков.

Одномерный случай[править | править вики-текст]

Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано, или методом деления пополам.

Пусть дана ограниченная числовая последовательность


x_1, x_2, \ldots

Из ограниченности последовательности следует, что все её члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим  [a_0, b_0] .

Разделим отрезок  [a_0, b_0] пополам на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его  [a_1, b_1] .

На следующем шаге повторим процедуру с отрезком  [a_1, b_1] : разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его  [a_2, b_2] .

Продолжая процесс получим последовательность вложенных отрезков


[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots

в которой каждый последующий является половиной предыдущего, и содержит бесконечное число членов последовательности  \{ x_k\}.

Длины отрезков стремятся к нулю:


|b_m - a_m| = \frac{|b_0 - a_0|}{2^m} \to 0

В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора, существует единственная точка  \xi , принадлежащая всем отрезкам:


a_m \leqslant \xi \leqslant b_m, \; m = 0, 1, \ldots

По построению на каждом отрезке [a_m,b_m] лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательность


x_{k_m} \in [a_m,b_m], \; m = 0, 1, 2, \ldots

соблюдая при этом условие возрастания номеров:


k_0 < k_1 < \ldots

Тогда подпоследовательность  \{ x_{k_m} \} сходится к точке  \xi . Это следует из того, что расстояние от x_{k_m} до \xi не превосходит длины содержащего их отрезка [a_m,b_m], откуда


|x_{k_m} - \xi | \leqslant |b_m - a_m|  \to 0

Распространение на случай пространства произвольной конечной размерности[править | править вики-текст]

Теорема Больцано — Вейерштрасса легко обобщается на случай пространства произвольной размерности.

Пусть дана последовательность точек пространства  \mathbb{R}^n :


	\begin{matrix}
		x_1 = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, \ldots, x_1^{(n)}) \\
		x_2 = (x_2^{(1)}, x_2^{(2)}, \ldots, x_2^{(n)}) \\
		\ldots	\\
	\end{matrix}

(нижний индекс — номер члена последовательности, верхний — номер координаты). Если последовательность точек пространства  \mathbb{R}^n ограничена, то каждая из числовых последовательностей координат:


x_1^{(\nu)}, x_2^{(\nu)}, \ldots

также ограничена ( \nu = 1, \ldots, n  — номер координаты).

В силу одномерного варианта теоремы Больцано — Вейерштрасса из последовательности  \{ x_k \} можно выделить подпоследовательность точек  \{ x_{k_m} \} , первые координаты которых  \{ x_{k_m}^{(1)} \} образуют сходящуюся последовательность. Из полученной подпоследовательности ещё раз выделим подпоследовательность, сходящуюся по второй координате. При этом сходимость по первой координате сохранится в силу того, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится. И так далее.

После  n шагов получим некоторую последовательность


x_{r_1}, x_{r_2}, \ldots

являющуюся подпоследовательностью  x_1, x_2, \ldots , и сходящуюся по каждой из координат. Отсюда следует, что эта подпоследовательность сходится.

История[править | править вики-текст]

Теорема Больцано — Вейерштрасса (для случая  n=1 ) впервые была доказана чешским математиком Больцано в 1817 году. В работе Больцано она выступала как лемма в доказательстве теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции, известной теперь как теорема Больцано — Коши. Однако эти и другие результаты, доказанные Больцано задолго до Коши и Вейерштрасса, остались незамеченными.

Лишь через полвека Вейерштрасс, независимо от Больцано, заново открыл и доказал эту теорему. Первоначально она называлась теоремой Вейерштрасса, до того как стали известны и получили признание работы Больцано.

Сегодня эта теорема носит имена Больцано и Вейерштрасса. Нередко эту теорему называют леммой Больцано — Вейерштрасса, а иногда леммой о предельной точке.

Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности[править | править вики-текст]

Теорема Больцано — Вейерштрасса устанавливает следующее интересное свойство ограниченного множества  M \subset \mathbb{R}^n : всякая последовательность точек  M содержит сходящуюся подпоследовательность.

При доказательстве различных предложений в анализе часто прибегают к следующему приему: определяют последовательность точек, обладающую каким-либо нужным свойством, а затем из неё выделяют подпоследовательность, также им обладающую, но уже сходящуюся. Например, именно так доказывается теорема Вейерштрасса о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Эффективность подобного приема вообще, а также желание распространить теорему Вейерштрасса на произвольные метрические пространства, побудили в 1906 году французского математика Мориса Фреше ввести понятие компактности. Свойство ограниченных множеств в  \mathbb{R}^n , устанавливаемое теоремой Больцано—Вейерштрасса, заключается, образно говоря, в том, что точки множества располагаются достаточно «тесно», или же «компактно»: сделав бесконечное число шагов по этому множеству, мы непременно сколь угодно близко подойдем к какой-то точке пространства.

Фреше вводит следующее определение: множество  M называется компактным, или же компактом, если всякая последовательность его точек содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке этого множества. При этом предполагается, что на множестве  M определена метрика, то есть оно является метрическим пространством, либо подмножеством метрического пространства.

Если исходить из этого определения, то не всякое ограниченное множество  M \subset \mathbb{R}^n является компактным: подпоследовательность точек из  M может сходится к точке, уже не принадлежащей этому множеству. Однако замыкание ограниченного множества уже будет компактом. Тем самым теорема Больцано — Вейерштрасса устанавливает достаточное условие компактности в пространстве  \mathbb{R}^n : для того чтобы множество  M \subset \mathbb{R}^n было компактным достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным. Нетрудно убедится в необходимости этих условий (это намного проще, чем доказать достаточность).

Таким образом, с точки зрения общего определения компактности роль теоремы Больцано — Вейерштрасса заключается в том, что она устанавливает критерий компактности в пространстве  \mathbb{R}^n : компакты в  \mathbb{R}^n  — в точности замкнутые ограниченные множества.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  • Рыбников К. А. История математики. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis / пер. с англ. Хавина. — второе, стереотипное. — М.: «Мир», 1976.