Теорема Брауэра о неподвижной точке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

Брауэр доказал теорему для случая n=3 в 1909.

Формулировка[править | править исходный текст]

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве B^n\subset \mathbb R^n. Пусть f \colon B^n\to B^n\!\, — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка x\in B^n, что f(x)=x\!\,.

Доказательство[править | править исходный текст]

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

Пусть теперь f \colon B^n\to B^n — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки x рассмотрим прямую, проходящую через точки x и f(x) (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть y — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем x лежит между f(x) и y. Легко видеть, что отображение x\mapsto y — ретракция шара на его границу. Противоречие.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Следствия[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]