Теорема Бёрнсайда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Бёрнсайда утверждает, что если группа G конечна, и порядок её равен

p^a q^b,

где p и q — простые числа, тогда G — разрешима. Следствие: каждая неабелевая конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа.

История[править | править исходный текст]

Теорема была доказана Вильямом Бёрнсайдом в начале XX века. Теорема Бёрнсайда долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп, хотя доказательство без использования характеров группы было опубликовано Голдсмитом уже в 1970 году.

Схема доказательства Бёрнсайда[править | править исходный текст]

  1. Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа G данного порядка — абелева.
  2. По теореме Силова, группа G имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера p^r для некоторого r\geqslant 1. В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы G, она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент x группы G, такой что класс сопряжённости элемента x имеет размер p^r>1.
  3. Используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера \chi группы G такого, что |\chi(x)|=\chi(1).
  4. Из простоты группы G следует, что любое комплексное неприводимое представление характера \chi верно (или точно), и отсюда следует, что x принадлежит центру группы G, что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.

Литература[править | править исходный текст]

  1. James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2 издание.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Глава 31.
  2. Fraleigh, John B. (2002) A First Course in Abstract Algebra (7 издание). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.