Теорема Вариньона (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Красный четырёхугольник — параллелограмм

Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном:

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.

или сокращённо

Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма


Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.

Следствие из теоремы: для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.

выпуклый четырёхугольник невыпуклый четырёхугольник самопересекающийся четырёхугольник

Varignon parallelogram convex.svg

Varignon parallelogram nonconvex.svg

Varignon parallelogram crossed.svg