Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих верхней и нижней граней.

Случай действительных чисел[править | править вики-текст]

В частном случае функций действительной переменной (который обычно излагается в учебниках матанализа), теорема формулируется так:

Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем и притом достигает своих минимального и максимального значений, т.е. существуют x_m,\;x_M\in[a,\;b] такие, что f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) для всех x \in [a,b].

Доказательство[править | править вики-текст]

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань M = \sup_{x \in [a,b]} f(x). Поскольку M - точная верхняя грань, существует последовательность x_n такая, что \lim f(x_n) = M. По теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности x_n можно выделить сходящуюся подпоследовательность x_{n_k}, предел которой (назовем его x_M) также принадлежит отрезку [a,b]. В силу непрерывности функции f имеем f(x_M) = \lim f(x_{n_k}), но с другой стороны \lim f(x_{n_k})= \lim f(x_n) = M. Таким образом, точная верхняя грань M конечна и достигается в точке x_M.

Для нижней грани доказательство аналогично.

Замечания[править | править вики-текст]

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

  • Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно[1].

Обобщение для полунепрерывных функций[править | править вики-текст]

  • Пусть функция f\colon[a,\;b]\to\R ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда
    M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)<+\infty и \exists x_M\in[a,\;b]\colon f(x_M)=M.
  • Пусть функция f\colon[a,\;b]\to\R ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
    m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)>-\infty и \exists x_m\in[a,\;b]\colon f(x_m)=m.

Доказательство в общем случае[править | править вики-текст]

Пусть A - компакт и функция f непрерывна на A. Рассмотрим совокупность множеств V_n = f^{-1}((-n,n)), где (-n,n) \subset \R - открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и очевидно, образуют покрытие A. По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие V_{n_k}, откуда имеем \forall x\in A: f(x) < \max n_k, ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции [f(x) - \sup f(A)]^{-1}, [f(x) - \inf f(A)]^{-1}, и применить к ним только что доказанное утверждение.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]