Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть f\colon[a,\;b]\to\R и f\in C\bigl([a,\;b]\bigr). Пусть

M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x),\quad m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)

точные верхняя и нижняя границы множества значений функции f соответственно. Тогда эти значения конечны (-\infty<m\leqslant M<\infty) и достигаются (существуют x_m,\;x_M\in[a,\;b] такие, что f(x_m)=m,\;f(x_M)=M).

Доказательство для R[править | править вики-текст]

Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), M = \sup_A f. Возьмём последовательность чисел a_m таких, что \lim a_m = M и a_m < M. Для каждого m найдётся точка x_m, такая что a_m < f(x_m). Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности x_m можно выделить сходящуюся последовательность \{x_{m_k}\}, предел которой лежит в A.

Для любого x_m справедливо a_m < f(x_{m_k}) < M, поэтому, применяя предельный переход, получаем \lim f(x_{m_k}) = M и в силу непрерывности функции существует точка x_0 такая, что \lim f(x_{m_k}) = f(x_0) и, следовательно M = f(x_0).

Таким образом функция f(x) ограничена и достигает своей верхней грани при x = x_0. Аналогично и для нижней грани.


Замечания[править | править вики-текст]

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

  • Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно[1].

Обобщения[править | править вики-текст]

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций[править | править вики-текст]

  • Пусть функция f\colon[a,\;b]\to\R ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда
    M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)<+\infty и \exists x_M\in[a,\;b]\colon f(x_M)=M.
  • Пусть функция f\colon[a,\;b]\to\R ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
    m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)>-\infty и \exists x_m\in[a,\;b]\colon f(x_m)=m.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]