Формулы Виета

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Формулировка

Если $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ — корни многочлена

$x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!$

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты $a_1, \ldots, a_n$ выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

$\begin{matrix} a_1 &=& -(c_1 + c_2 + \ldots + c_n) \\ a_2 &=& c_1 c_2 + c_1 c_3 + \ldots + c_1 c_n + c_2 c_3 + \ldots + c_{n-1} c_n \\ a_3 &=& -(c_1 c_2 c_3 + c_1 c_2 c_4 + \ldots + c_{n-2} c_{n-1} c_{n}) \\ & &\ldots \\ a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (c_1 c_2 \ldots c_{n-1} + c_1 c_2 \ldots c_{n-2} c_n + \ldots + c_2 c_3...c_n) \\ a_n &=& (-1)^n c_1 c_2 \ldots c_n \end{matrix}.$

Иначе говоря $(-1)^ka_k$ равно сумме всех возможных произведений из $k$ корней.

Если старший коэффициент многочлена $a_0 \ne 1$, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_0$ (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что $a_0 = 1$

$x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n = (x - c_1)(x - c_2) \cdots (x - c_n)$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ (теорема единственности), получаем формулы Виета.

Примеры

Квадратное уравнение

Если $~x_1$ и $~x_2$ — корни квадратного уравнения $\ ax^2+bx+c=0$ ,то

$\begin{cases} ~x_1+x_2=~-\dfrac{b}{a} \\ ~x_1 x_2= ~\dfrac{c}{a} \end{cases}$

В частном случае, если $a=1$ (приведенная форма $x^2+px+q=0$), то

$\begin{cases} ~x_1+x_2=-p \\ ~x_1 x_2=q\end{cases}$.

корень из квадрата

Кубическое уравнение

Если

$x_1, x_2, x_3$ — корни кубического уравнения $p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, то

$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}\\(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = \dfrac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 = -\dfrac{d}{a}\end{cases}$

См. также

• Теорема Безу
• Основная теорема алгебры