Теорема Вика (в квантовой электродинамике)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Вика (в квантовой электродинамике) — утверждение, позволяющее вычислять элементы S — матрицы в n порядке теории возмущений. Как известно, матричный элемент перехода имеет вид: <f|S^{(n)}|i>=\frac{1}{n!}(-ie)^{n} \int d^{4}x_{1} ... d^{4}x_{n} \times <0|...b_{2f} b_{1f} ... a_{1f} ... c_{1f} T(\bar{\psi_{1}} \gamma A_{1} \psi_{1}) \times ... \times (\bar{\psi_{n}} \gamma A_{n} \psi_{n} ) c_{1i}^{+} ... a_{1i}^{+} ... b_{1i}^{+} ... |0>.Индексы 1i, 2i, ... нумеруют начальные частицы, а 1f, 2f, ... — конечные. Индексы 1, 2, ... у операторов \psi и A означают \psi_{1}=\psi(x_{1}) и т. п. T — символ хронологического произведения операторов. Теорема Вика утверждает, что среднее по вакууму от любого числа бозонных операторов равно сумме произведений всех возможных попарных средних этих операторов. При этом в каждой паре множители должны стоять в той же последовательности, что и в исходном произведении. Для фермионных операторов каждый член суммы входит со знаком плюс или минус в зависимости от того, чётно или нечётно число перестановок, необходимое для того, чтобы поставить рядом все усредняемые операторы.

Доказательство[править | править исходный текст]

Определим как нормальное произведение нескольких операторов N(AB...YZ), в котором все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения, а знак плюс или минус зависит от того, чётная или нечётная перестановка фермиевских операторов приводит к такому виду произведения. Определим, как удвоенное, произведение двух операторов A^{*}B^{*} = T(AB) - N(AB). Теорема Вика утверждает, что хронологическое произведение любого числа операторов можно представить в виде суммы нормальных произведений со всеми возможными удвоениями T(AB...YZ) = N(AB...YZ) + N(A^{*}B^{*}CD...YZ) + N(A^{*}BC^{*}D...YZ)+...+N(A^{*}B^{**}C^{***}D...X^{*}Y^{**}Z^{***}). Таким образом, хронологическое произведение операторов равно нормальному произведению, плюс сумма нормальных произведений с одним удвоением, где пара должна быть выбрана всеми возможными способами, плюс сумма нормальных произведений с двумя удвоениями, где две пары удвоения должны быть выбраны всеми возможными способами и т. д. Для того, чтобы преобразовать хронологическое произведение в нормальное, надо все операторы рождения переставить с операторами уничтожения, стоящими перед ними. При этом получается формула указанного выше вида. В неё будут входить удвоения только тех операторов, у которых порядок в хронологическом произведении отличается от порядка в нормальном произведении. Так как удвоения операторов, для которых оба порядка равносильны, равны нулю, можно считать, что в правой части формулы входят нормальные произведения со всеми возможными удвоениями.[1]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Садовский М.В. Лекции по квантовой теории поля, 2003, 480 стр., ISBN 5-93972-241-5

Литература[править | править исходный текст]