Теорема Гамильтона — Кэли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Logo arte.jpg Теорема Гамильтона — Кэли
Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Если \ A — квадратная матрица и \ c(\lambda) её характеристический многочлен, то \ c(A)=0.

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

c(\lambda)=\det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}),

тогда

c(A)=A^2-(a_{11}+a_{22})A+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})E=
=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}-(a_{11}+a_{22})\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=0.


Обобщения теоремы Гамильтона - Кэли[править | править вики-текст]

  • Пусть p_{A}(\lambda) - характеристический многочлен матрицы A, а матрица X коммутирует с A. Тогда p_{A}(X) = M(A-X), где M - некоторая матрица, коммутирующая с A и X[1].
  • Если в характеристическом многочлене f(x_{1}, ..., x_{m}) заменить x^{z} на A^{z}, то получим нулевую матрицу[2].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]